a、ｂを自然数として…

質問

a、ｂを自然数として、ｂを素数とする。

x^3+ax^2-５ｘ+b=0が自然数解αをもつとき、
a、ｂの値とこの方程式の解をすべて求めよ。

解と係数の関係ですかね？

やはり分かりません…

教えてください(><)

回答No.5

ta20000005

mister_moonlightさんの回答でb=1になるのがありますが、1は素数じゃないのでこれは解になりませんからご注意を。
どちらかというと
α=1
と
α=b
で場合わけの方が簡単だと思います。

回答No.4

mister_moonlight

書き込みミス、以下のように訂正。αとxを区別しないで書いてる。

・　α＝1の時　
(1)から　b＝4-a≧2　だから　a≦2
a＝2の時　b＝2から　(1)の方程式は　(x-1)*(x＾2＋3x-2)＝0
a＝1の時　b＝3から　(1)の方程式は　(x-1)＾2*(x＋3)＝0
・5-aα-α＾2＝1　つまり　aα＝4-α＾2　→　a＝-α＋4/α　と変形する。
よつて、α≧1から　α＝1、2、4。
・α＝1の時　(a、b)＝(3、1)だから　(1)は(x-1)*(x＾2＋4x-1)＝0.
・α＝2の時　a＝0　から不適。
・α＝4の時　a＝-3　から不適。

以上の3つの解がある。

回答No.3

mister_moonlight

よくあるタイプの問題だが、知ってないと難しいかも知れない。

b=α(5-aα-α＾2)‥‥(1)
bは素数で、αは自然数だから、α＝1、or、5-aα-α＾2＝1
・　α＝1の時　
(1)から　b＝4-a≧2　だから　a≦2
a＝2の時　b＝2から　(1)の方程式は　(α-1)*(α＾2＋3α-2)＝0
a＝1の時　b＝3から　(1)の方程式は　(α-1)＾2*(α＋3)＝0
・5-aα-α＾2＝1　つまり　aα＝4-α＾2　→　a＝-α＋4/α　と変形する。
よつて、α≧1から　α＝1、2、4。
・α＝1の時　(a、b)＝(3、1)だから　(1)は(α-1)*(α＾2＋4α-1)＝0.
・α＝2の時　a＝0　から不適。
・α＝4の時　a＝-3　から不適。

以上の3つの解がある。

回答No.2

ta20000005

aもbもαも自然数だし。αを代入してb=に直せばαはbの約数だから可能性は二通り。どちらでもbは上から抑えられるから具体的に確かめるだけ。

回答No.1

noname#208392

bが素数なんだから、この方程式の左辺はこういう風に因数分解できる。

（x+b）（x+1）（x+1） 又は、
（x+b）（x-1）（x-1） 又は、
（x-b）（x+1）（x-1）

これを改めて計算すると、

x^3 + （b+2）x^2 + （1+2b）x + b...(1)
x^3 + （b-2）x^2 + （1-2b）x + b...(2)
x^3 - bx^2 - 1x + b...(3)

(1)と(3)はもとの方程式と全然合わないから、(2)の場合だけ考える。
元の方程式と比べると、次のような関係が分かる。

1 - 2b = -5
b - 2 = a

これから、直ちにa、bの値が分かって、

a = 1
b = 3

解は、

x= 1, -3