ある自然数係数の方程式の自然数解についてです。

質問

a と b とを自然数とするときに、 xy － ab ＝０ を、 ｘ と ｙ とについて、自然数の範囲で解く方法をお教え下さい。
また、その方程式そのものは因数分解できないのに、なぜ、 ｘ＝a と y＝b とが自然数解になり得てしまうのでしょうか。

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

>ｘ と ｙ とについて、自然数の範囲で解く方法をお教え下さい。

abを自然数の積に分けるやり方は
(1,ab), (a,b),(b,a),(ab,1)
これらは xy-ab=0
すべて方程式の解(x,y)=(1,ab), (a,b),(b,a),(ab,1)
であることは,代入すれば成り立つことから明らかです。
また, a=m*k (kは2以上の自然数)と分けることができる場合は
x=k=a/m, y=m*b も方程式を満たすので
(x,y)=(a/m, m*b), (m*b, a/m)
も解です。

>その方程式そのものは因数分解できないのに、なぜ、 ｘ＝a と y＝b とが自然数解になり得てしまうのでしょうか。

1変数方程式の場合についてのみ適用できる概念を,
2変数不定方程式に適用しようとするから, そういうことになるのだろうね。

お礼

誠に有難う御座います。

補足

>>その方程式そのものは因数分解できないのに、なぜ、 ｘ＝a と y＝b とが自然数解になり得てしまうのでしょうか。
>1変数方程式の場合についてのみ適用できる概念を,
2変数不定方程式に適用しようとするから, そういうことになるのだろうね。

因数分解は、２変数以上の多項式でもあり得ますので、仰る意味が分かりかねますが・・・？

回答No.4

info222_

No.3 です。

ANo.3 の補足コメントの回答

>>その方程式そのものは因数分解できないのに、なぜ、 ｘ＝a と y＝b とが自然数解になり得てしまうのでしょうか。

2変数の不定連立方程式だからです。
つまり, 変数が2つ対して方程式が1つだけなの, 2変数の一方は,自由に定めることができ, この変数が決まらないと, もう1つの変数も決まらないのです。
変数の数に対して, 方程式の数が一つ以上少ない連立方程式で, 解が存在しても
一意に決まらないものを不定連立方程式と言う。
今の問題では
xy=ab(>1)
は2変数の方程式 1 つだけで
y=(ab)/x
と変形すれば, x軸, y軸を漸近線とする反比例のグラフ(直角双曲線のグラフ)
であるとわかりますね。
この直角双曲線の方程式
xy-ab=0
はこれ以上因数分解できず, 不定連立方程式(と言っても方程式はひとつだけ)なので, xを与えてやらないと yが求まらないですね。

>>1変数方程式の場合についてのみ適用できる概念を,
>>2変数不定方程式に適用しようとするから, そういうことになるのだろうね。

>方程式の
>因数分解は、２変数以上の多項式でもあり得ますので、
>仰る意味が分かりかねますが・・・？

２変数以上の多項式でもこれ以上因数分解できない多項式が存在することはご存じないのですか?
不定連立方程式が意味する内容を正しく理解されていないようですね (因数分解できれば1つの変数が確定して, もう一つの変数も求まることになり, 不定連立方程式と矛盾する)。
ならば,
ab>1 として
xy-ab=(x-c)(y-d)
と因数分解できると仮定して
c,dを求めて見てください。
c,dが存在しない なら仮定の矛盾, つまり, これ以上, 左辺は因数分解できない
事を意味します。

お礼

またまた懇切御丁寧なる御回答を賜りまして誠に有難う御座います。

回答No.2

chie65536（@chie65535）

xy - ab = 0の両辺にabを足せばxy = abとなる。

xy = abにおいてx = aであるならば「xy = xb」であるので、xy = xbの両辺をxで割れば「y = b」となる。

「aとbが自然数」という前提があるので「x = aかつy = b」であるならば「xとyが自然数」なのは自明。

お礼

誠に有難う御座います。

回答No.1

MSZ006

xy＝ab　なので、aとbを素因数分解して、それの組み合わせで自然数xとyが決定できると思います。
aとbは自然数なので、冒頭の等式から、x=a,y=b　は解のひとつであるのは明白だと思います。

お礼

誠に有難う御座いました。