数学 問題

質問

実数a,bを係数とする3次方程式x^3-ax+b=0がある。この方程式の解の1つが1+iのとき、a,bの値と他の2つの解を求めよ。という問題の解き方が分からないので教えて頂けると助かります。

回答No.3

staratras

x^3-ax+b=o …(1)

x=1+i は方程式(1)の解の一つだから、(1)に代入すると

(1+i)^3-a(1+i)+b=0
1+3i-3-i-a-ai+b=0
(b-a-2)+(2-a)i=0

したがって
b-a-2=0 …(2)　かつ　
2-a=0　 …(3)

(3) から　a=2 (2)へ代入すると　b=4
このとき(1)はx^3-2x+4=0
(x+2)(x^2-2x+2)=0
これを解くと、x=-2,x=1+i,x=1-i
答え　a=2,b=4、残りの解は　x=-2,x=1-i。

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

別解　
（一つの解がx=1+i ならばx=1-iも(1)の解である。ということを使ってよければ）

残る解をyとすると
解と係数の関係から
3つの解の和=2+y=0　よりy=-2
2つの解の積の和＝-2(1+i)-2(1-i)+(1+i)(1-i)=-2=-a より　a=2
3つの解の積=-2(1+i)(1-i)=-4=-b より　b=4

答えは上と同じ。

回答No.2

noname#222520

3次方程式は必ず1つの実数解をもつので、これをx=cとすると、与式は次のようにおけます。
(x-c)(x^2+2dx+e)=0
x^2+2dx+eにおいて、xの係数を2dとおいた理由は、因数分解しやすくするためです。

x^2+2dx+eを因数分解すると、
x^2+2dx+e
=(x+d)^2+e-d^2
=(x+d)^2+{√(e-d^2)}^2（e＞d^2とします。）
=(x+d)^2-{i√(e-d^2)}^2
={(x+d)+i√(e-d^2)}{x+d)-i√(e-d^2)}
=[x+{d+i√(e-d^2)}][x+{d-i√(e-d^2)}]

これから、x^2+2dx+e=0の解は、
x=-d±i√(e-d^2)
1つの解がx=1+iであるから、
-d=1→d=-1、e-d^2=1→e=d^2+1=2（e＞d^2を満たします。）
他の解は、x=1-i

以上から、与式の左辺は、
(x-c)(x^2-2x+2)
これを展開すると、
x^3-(c+2)x^2+2(c+1)x-2c
元の式と係数を比較して、
0=c+2→c=-2（他の解は、x=-2）、-a=2(c+1)=-2→a=2、b=-2c=4

※検算
x^3-2x+4において、x=-2とすると、(-2)^3-2*(-2)+4=-8+4+4=0

回答No.1

bran111

多項式方程式がa+biという解を持つとき、必ず共役複素数a-biも解として持つという定理があります。教科書に必ず書いてありますので確認してください。

よって

3次方程式x^3-ax+b=0

の解をα, β,γとすると

α=1+i
β=1-i

とおけます。

解と係数の関係より

α+ β+γ＝2+γ=a

α β+ βγ+γα=(1+i)(1-i)+γ(α+β)=2+2γ=0 ⇒　γ＝-1

αβγ=(1+i)(1-i)γ＝2γ＝ｂ

以上から

γ＝-1, a=1,b=-2