解と数の大小

質問

aは実数とする。xの2次方程式x^2+2ax+2a^2-5=0について
２つの解がともに１より小さいときのaの値の範囲と、１つの解が１より大きく、他の解が１より小さいときのaの値の範囲を知りたいのですが、これは解と係数の関係を使えばいいのでしょうか？
解の判別式で解けるのでしょうか？

両方試してみたけれど、解けませんでした。
わかる方がいたら教えてください。
お願いします!!

回答No.3

noname#47975 · ベストアンサー

(1)２つの解がともに１よりも小さいときのaの範囲

i) （軸のｘ座標）＜１
ii)　判別式≧０（重解も含めて２つの解と見なすべきだと思うので．．）
iii) f(１)＞０

i)かつii)かつiii)を満たすようなaの範囲を求めれば良いだけです。

(2)１つの解が１よりも大きく、１つの解が１よりも小さいときのaの範囲

i) ｆ(1) < 0

i)を満たす範囲のみを求めれば良いだけです。
判別式＞０は必要だと思われるかもしれませんが、グラフを見る限り、
f(1) < 0を満たしていれば、判別式＞０を満たすので特にいりません。
すなわち、２次関数のグラフより、

f(1) < 0 ⇔　f(1) < 0 かつ 判別式＞０
である事は自明です。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました。
さっそく解いてみたいと思います。

回答No.2

jisin74

まず、解の判別式をもとにaの範囲を求めます。(これが[1])

次に、解の公式を用いて、xをaであらわします。これと「２つの解がともに１より小さい」or「１つの解が１より大きく、他の解が１より小さい」という条件からaの範囲を求めます。(これが[2])

あとは、[1]と[2]を組みあわせたものが、この問題の答えになるのではないでしょうか。

お礼

条件があったんですね。
ありがとうございました!!

回答No.1

proto

だいたいでいいのでグラフを描いてみましょう。
放物線がx軸と交わるところが解ですね。
二つの解が1より小さいときってどんなグラフ？と考えながらグラフを描きましょう。

二つの解がともに1より小さいときは、
・解が二つあるので、(判別式)>0
・軸はx=1より左にある、(軸のx座標)<1
・グラフが下に凸であることを考慮すると、x=1のときグラフはx軸より上にある、方程式をf(x)=0と書くと、f(1)>0

これら全部適当にグラフを描いてみればわかります。
とりあえず描いてみてください。

そして条件ごとにaの値の範囲を出していき、それらの重なる範囲が最終的な答えです。

二つめの問題は、1より小さい解と1より大きい解があるとき
・解が二つあるので、(判別式)>0
・軸は1より右か左かわからないので、どちらでもよい(どちらの可能性もある)
・x=1のときグラフはx軸より下にあるので、f(1)<0
となります。
こちらもグラフを描けばわかります。

お礼

グラフをかけばいいんですね。
ありがとうございました!!