数と式

質問

以前も同じ質問をしたのですが、時間が空いた為返信が無いな為もう一度よろしくおねがしいます。
実数係数の3次方程式(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c=0は1＋√2iを解にもつ。
また、この方程式と(x＾2)＋ax＋8=0がただ1つの解を共有する。
このときの係数a,b,cの値を求めル問題で
{ｘ－（１＋√2i}{x-(1-√2i}(x-α)=0
を計算して
(x＾3)-(2＋α)(x＾2)＋(3＋2α)x-3α=0
a=-(2＋α)
b=3＋2α
c=-3α

になりました。
このあとどうすればいいのでしょうか？

(x＾2)＋ax＋8=(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c
と考えるのでしょうか？

別解で
1＋√2iと1 - √2iを解にもつ二次方程式は
x＾2+2x+3=0
二次方程式との共有根は実数解で
(b-8)x=-cはどのようにして現われたのでしょうか？

回答No.5

kkkk2222 · ベストアンサー

貴殿の解法も、別解も吟味していません。
ーーー
実数係数方程式(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c=0
α＝1 + (√2)i
β＝1 - (√2)i
α+β=2
αβ=3
(x^2)-2x+3=0
ーー
(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c=0
(x^2)-2x+3=0
ーー
【一次式】【(x^2)-2x+3】＝０
【(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c】÷【(x^2)-2x+3】を実行して、
商は【ｘ＋（a+２)】
余りは【b+2a+1】x+【c-3a-6】＝（０＊x）＋０
何故、余りが恒等的に０かは吟味して下さい。

【b+2a+1】＝０
【c-3a-6】＝０

b=(-2a-1)
c=(3a+6)

【(x＾3)＋a(x＾2)＋bx＋c】=0
＊　【(x＾3)＋a(x＾2)＋(-2a-1)x＋c=(3a+6)】=0
＊　【x+（a+２)】【(x^2)-2x+3】＝０

＊＊　【x+（a+２)】【(x^2)-2x+3】＝０
＊＊　【(x＾2)＋ax＋8】=0

【(x^2)-2x+3】＝０ と　【(x＾2)＋ax＋8】＝０　は
共通解を持ちません。
これは自明ですが、もし疑問ならば、
＊【(x＾2)＋ax＋8】＝０　を解の公式で解くと、aは存在しないとわかります。
＊また共通解をＡと置いて計算すると、aは虚数になると判明します。

よって、共通解があるならば、共通解はー（a+２)です。
これを、【(x＾2)＋ax＋8】＝０　に代入すると
(（a+２)^2)-a（a+２)+8=0
(a^2)+４a+４-(a^2)-２a+8=0
２a=ー１２
a＝－６
【(x＾2)ー６x＋8】＝０
(x-４)(x-２)=0

二つの式は、
【x-４】【(x^2)-2x+3】＝０
(x-４)(x-２)=0

a＝－６、共通解は４　となります。
もし、ｂ、ｃの値が必要ならば、上の方に式が書いてあります。
かなり寄り道をしています。説明のために全部書きました。
全部書く必要は、ありません。貴殿が必要な箇所だけを抜き出して下さい。

読み直したら、
＞＞このときの係数a,b,cの値を求めたいのですが
でした。
a＝ー６
b=(-2a-1)＝１１
c=(3a+6)＝－１２
最後になって計算ミスにきがつき大幅に修正しました。
未修正の可能性があり、吟味して下さい。

お礼

kkkk2222さんどうもありがとうごいます。
いつも親身になってお答えしていただいてとても感謝しています。

回答No.4

debut

別解の方は
２次方程式ｘ^2＋ａｘ＋８＝０の両辺にｘを
かけて、ｘ^3＋ａｘ^2＋８ｘ＝０として、
３次方程式ｘ^3＋ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０と
引き算すれば
　ｂｘ－８ｘ＋ｃ＝０で(ｂ－８)ｘ＝－ｃと
なります。

回答No.3

Tacosan

なんか日本語が微妙におかしい気はするんだけど, これ, 上の方針でいって解けるのかなぁ? ちょっと疑問. まあ, 「別解」も危険な感じだけど.
まず 2つの方程式がただ 1つの解を共有するということから, 共有する解は実数解であることが確定します (複素数解だと共役で 2個共有しなければならないから). つまり, 上で置いたαが共有解となります.
ここで下の方程式の解は (解と係数の関係から) αと 8/α です. これで上の a = -(2+α) ともう 1つ「αと a の連立方程式」が得られます. これを解けば終了. まあ, 「ただ 1つの解を共有する」ことは確認した方が無難だけど.

回答No.2

Quattro99

すっかり忘れてしまいましたが、問題の条件から、
> {x-(１+√2i}{x-(1-√2i}(x-α)=0
とおけるということは1+√2iを解に持つなら1-√2iも解に持つと言えるということでしょうか？
そうであれば、
> この方程式と(x^2)+ax+8=0がただ1つの解を共有する。
この条件を満たすには、その共有の解とはαでなければならないはずです。1+√2iや1-√2iだと片方が共有解ならもう片方も共有解になってしまいますから。
なので、αはx^2+ax+8=0の解ですから、代入して
α^2+aα+8=0が成り立ちます。
4つめの等式がで来たので解けると思います。

別解のご質問についてはさっぱりわかりません。

回答No.1

banakona

>b=3＋2α
これは
b=3-2α
の間違いでしょう。

あと、解き方なのですが、方程式(x＾2)＋ax＋8=0と「ただ一つの解を共有する」ということは、与３次方程式の実数解を共有することになります。
もし虚数解1＋√2iを共有するなら、1－√2iも方程式(x＾2)＋ax＋8=0の解になります。（{ｘ－（１＋√2i}{x-(1-√2i}(x-α)=0を立ててらっしゃいますから、ご存知ですよね？）
ですから「ただ一つの解を共有する」に反します。よって共有する解は実数解αとなります。

＞a=-(2＋α)
からα＝-2-a
これを(x＾2)＋ax＋8=0に代入すればaの値が求まります。

「別解」については分かりませんでした。もう少し具体的に書いてもらえませんか。（x＾2+2x+3=0はx＾2-2x+3=0の間違いでしょう。）

補足

前回同じ質問をしたとき、
1＋√2iと1 - √2iを解にもつ二次方程式は
x＾2+2x+3=0
二次方程式との共有根は実数解で
(b-8)x=-c
x=-c/(b-8)
三次方程式は
(x+c/(b-8))(x＾2+2x+3)=0となる。
与えられた三次方程式の左辺とこの式の左辺は
恒等式であり、係数を等しいとおいて
3c/(b-8)=cからb=11
c/3+2=a
2c/3+3=11からc=12、上の式からa=6
以上よりa=6,b=11,c=12
共有解はx=-4
三次方程式は(x+4)(x＾2+2x+3)=0となる。

というふな解説がありました。
(b-8)x=-cが解らなくて解けなくて。