2次方程式

質問

（１）
２次方程式(ax＾2)＋bx＋c=0(a≠0)の2つの異なる解をα、βとするとき、αー１、β－１を２つの解とする２次方程式で、２次の係数がaである方程式の1次係数は？

（２）
xの２次方程式,(x＾2)＋ax＋1=0の２つの解において、一方がもう一方の３乗であるとめの実数aはどれか？
ただし、aを正の整数とする？

（１）と（２）は解と係数の関係を使うなかと思うのですがよくわかりません。

どのように解くかわかりません
おしえてください

回答No.5

himajin2005_RC4

#4
最後一行無視
x^2-2x+1=0
失礼しました

回答No.4

himajin2005_RC4

ミス訂正
>a=1だから
ってここでa=1って定めちゃったら
x^2+ax+・・・って次でいえなくなっちゃいますので
適当に読み替えてください
(上の式のa)=1が正しいです

>α^4=1なのですが、
↑ここまではわかるんですよね
普通に(0次の係数=定数項)を比較しただけです

なぜ
>α^4=±1
「α=±1」の書き間違いだよね？

でもごめんなさい、私の誤りです

>異なる解をα、β
異なる二つの「実数」解とは言ってませんね
それにa,b,cいづれも「実数」とは言ってない
#ひねくれた考えであえて言ってますので
問題文は実数のつもりなのでしょう(汗)

もし、気になるのであれば

X=α^2とおくと
X^2=1だから
X=±1
α^2=±1

i)α^2=-1の時
α=±i

i^3+i=-i+i=0
(-i)^3+i
=-i^3+i
=2i

のバージョンも考えるべきかも

ii)α^2=1の時
α=±1です
x^2-2x+1=0

回答No.3

himajin2005_RC4

#2です。
でhinebotさんと同じく
α＋β=-b/a ---(ア)
αβ = c/a ---(イ)
(1) (x -(α-1))(x -(β-1))=0と
=x^2-((α-1)+(β-1))x+(α-1)(β-1)
=x^2-(α+β-2)x+(αβ-(α+β)+1)　・・・・A

＞-a(α＋β－2)
がどうやって出るのかわかりません。

hinebotさんはあくまでx^2の係数をaのままで
説明しているようです。
僕はわかりにくいかなと思って1に統一していますが
式Aの、1次係数(=xの係数）は
-(α＋β－2)ですよね？
僕の話はx^2の係数が1だけど、x^2の係数は
問題文の話からaでなきゃいけないから

-a(α＋β－2)となっています

-(-(b/a)-2)x
僕の話の流れから
-(α＋β－2)x=-(-(b/a)-2)xですよね？
で、上記の話が理解できれば
-a(α＋β－2)x
=-a(-(b/a)-2)x
=b+2a ←答え

ここまでわかれば・・・・

問い
「その方程式」そのものを書いてみてください。
簡単ですよね？
------
一番最初に
>ax＾2＋bx＋c=0
>が異なる2解α,βを持つとすると
>a(x-α)(x-β)=0と書ける
と記載しました(a=0の時は自信ないですが)

hinebotさんは
>β=α^3
でαでなくtで話をしています
が基本は同じ
上記内容から
a=1だから
(x＾2)＋ax＋1=0
は
(x-α)(x-β)=0とかけなければならず
仮定よりβ=a^3だから
(x-α)(x-α^3)=0とかけるはずです
これを展開すると
x^2-(α+α^3)x+α・α^3=0

係数比較して
α^3+α=-a
α・α^3=α^4=1・・・・B
Bを考える
αは実数だから
-1か1が考えられます

答えはどっちでしょう？
それとも「両方」？それとも「なし」？
それを確かめてみます

i)α=1の時
x^2-(α+α^3)x+α^4=0
x^2-(1+1^3)x+1^4=0
x^2-2x+1=0
でこのとき
(x＾2)＋ax＋1=0のaは
-2と判明しますが
>ただし、aを正の整数とする
という条件からこれは答えにできません
仕方ありません。ほかの解を考えて見ます
x^2-(α+α^3)x+α^4=0
x^2-((-1)+(-1)^3)x+1^4=0
x^2-(-2)x+1=0
x^2-(-2)x+1=0
x^2+2x+1=0
でa=2
これだー、これが解だー！ということで

>従って、答えは a=2

が出ます

補足

丁寧な説明ありがとうございます。
α^4=1なのですが、
なぜ
α^4=±1
とわかるのですか？
α＾2=±１はわかるのですが
４乗だと。

回答No.2

himajin2005_RC4

ヒント
ax＾2＋bx＋c=0
が異なる2解α,βを持つとすると
a(x-α)(x-β)=0と書ける・・・・A

だから
α+β=　　　　　・・・・B
αβ=　　　　　 ・・・・C

ここで2次の係数aでα-1,β-1を解にもつ方程式は
a(x -　　　)(x -　　　　)
と書け、これを展開すると
x^2 +(　　　)x+(　　　)=0となる
そしてB,Cを利用すると具体的な数値が求まる

(2) (x＾2)＋ax＋1=0
二つの解をα,βとおき、
仮定からβ=α^3とおくと
この方程式は
(x -　　　)(x -　　　)=0
展開して係数比較すると求まる

お礼

(x -　　　)(x -　　　)=0
の形をどのようにするのかわかりません

補足

展開をして
xの一次式は
-(-(b/a)-2)xとなったのですが、どのように求めればよいのですか？

回答No.1

hinebot

解と係数の関係を使うということが分かっていて、どうしてその先が分からないのか・・・

(1)
(ax＾2)＋bx＋c=0(a≠0)の解と係数の関係から

α＋β=-b/a ---(ア)
αβ = c/a ---(イ)

α-1,β-1 を２つの解とする２次方程式で、２次の係数（x^2の係数）がaであるものは
a{x-(α-1)}{x-(β-1)}=0
となる。
これを展開して、1次係数(=xの係数）を調べると
-a(α＋β－2)
となるので、これに(ア)を代入すれば終わり。
-a(α＋β－2)= -a{(-b/a)-2}= b+2a = 2a+b ← 答

(2)
一方がもう一方の3乗ということで、２つの解をt,t^3と置く。
解と係数の関係から
t+t^3 = -a ---(i)
t*t^3 = 1 すなわち t^4 = 1 ---(ii)
aは実数なので、(i)よりtも実数。
(ii)より
t^4-1=0
(t^2-1)(t^2+1)=0
(t-1)(t+1)(t^2+1)=0 ∴t=±1
これを(i)に代入
・t=1 のとき t+t^3=1+1=2 = -a ∴a=-2
　aは正の整数なので、これは不適。
・t=-1のとき　t+t^3=-1+(-1)^3=-2 = -a ∴a=2
aが正の整数である条件を満たす。
従って、答えは a=2

お礼

>t+t^3 = -a ---(i)
t*t^3 = 1 すなわち t^4 = 1 ---(ii)
が成り立つのがよくわかりません。
もうすこし具体的におしえてくれませんか？

補足

＞-a(α＋β－2)
がどうやって出るのかわかりません。

xの一次式は
-(-(b/a)-2)xですが。