原子核の位置での電子の存在確率密度

質問

原子核の位置での電子の存在確率密度って波動関数Ψ(r,θ,φ)を二乗してr=0を代入したときと、動径分布関数D(r)にr=0を代入したときとで答えが違いますよね。
例えば水素原子1s軌道で
Ψ(r,θ,φ)=1/sqrt(pi)*(1/a)^(3/2)*exp(-r/a)
D(r)=4r^2*(1/a)^3*exp(-2*r/a)
前者で1/(pi*a^3)、後者で0になると思います。この差はなぜ生じるのですか？ちなみにaはボーア半径です。

回答No.2

undemande · ベストアンサー

なにか大変な勘違いをされているようですね。
波動関数式と動径分布関数式は、同じ意味のものを別々の関数で表したのもではありません。全く表している事が違っています。したがって、同じ値になろうが、なかろうが、比べる意味そのものが根本的にありませんよ。

下記サイトをご参照下さい。
http://www.materials.sci.osaka-cu.ac.jp/materials2002/Lec_others/dorbital.html

動径分布関数とは、原子核を中心にして半径r の距離に電子を見出す確率，つまり，今回のような1s軌道では波動関数内にθとφを含んでいないので、半径r の球の表面での「確率密度」であり、この値が最大（極大）になる距離r は，D(r) をr で微分してゼロになる所
dD(r)/dr = ( const ) × r ( 1 - r / a ) exp ( -2r / a ) = 0
より、
r＝ a

つまり、aはボーア半径ですね。つまり、ボーア半径のあたりで，電子の動径分布が最大になりますよ。

式名称に惑わされてはいけません。「何のためにその式が出てきたのか」を考えて下さい。

S = 4πr^2 は球の表面積ですよね。何故それに波動関数の自乗を掛けあわせたものが原子核を中心にして半径r の距離に電子を見出す確率，つまり，半径r の球の表面での確率密度なるのかというと、先ほどの1s軌道の波動関数がは，実際にはθとφを変数として含んでいないからrに対して一様な球状だとしたわけです。

他の電子軌道を考察する場合には、そうはいきませんね。

本当に詳しく知りたいのであれば、以下のサイトをざっと読んでみて下さい。くわしく、丁寧に説明されています。(QMII-8.pdfは無いようです）
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-3.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-4.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-6.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-7.pdf

http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-9.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-10.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-11.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-12.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-13.pdf
http://www.phys.konan-u.ac.jp/~yamasaki/Quantum_Mechanics_II_files/QMII-14.pdf

頑張ってくださいね。

回答No.1

hitokotonusi

球座標のヤコビアンがかかっているかどうかじゃないですか。
違いは4πr^2でしょ。