大学の課題なのですが、ヒントを見てもよくわかりませんでした。回答お願い

質問

大学の課題なのですが、ヒントを見てもよくわかりませんでした。回答お願いします。
水素原子の１ｓ波動関数について以下の問に答えてください。

1.この関数による動径分布関数が最大値となるｒを求めよ。
ヒント：∫（0→2π）∫（0→π） ｜Φ（ｒ）｜＾2*ｒ＾2*sinθ＾2*ｄｒ*ｄθ*ｄφ
＝∫（0→2π）ｄφ ∫（0→π） sinθ＾2*ｄθ*｜Φ（r）＾2｜*ｒ＾2*ｄｒ
＝４πｒ＾2*｜Φ（ｒ）＾2｜*ｄｒ

2.ｒ＝a（ボーア半径）の球の内部に電子を見出す確率はいくらか？
ヒント：∫x＾2*e^kx*dx＝ｘ＾2*e^kx*(1-2/kx+2/k^2*x^2)/k +C（Cは積分定数）

こんなような問題がのっているサイトとかでもいいのであったらお願いします。
直接解いていただけるとありがたいです。

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

1.1s軌道の式を知らないと出来ませんね。Φ(r)のところにそれを代入して4πr^2Φ(r)^2のPeakになるところを計算すればよいわけです。n=1, l=0, m=0の波動関数（これを使えばよい筈です。）は
Ψ={(1/√(πa^3)}exp(-r/a)...(1)
です。a=h^2/{4π^2μe^2}=0.528x10^(-8) cmはBohr半径になります。
F=4πr^2|Ψ^2|=(4r^2/a^3)exp(-2r/a)...(2)
ですから
dF/dr=(4/a^3){2r*exp(-2r/a)+r^2exp(-2r/a)(-2/a)}
=(8/a^3)exp(-2r/a)(r-r^2/a)...(3)
これよりr=0とr=aで極値をとりますが、最大になるのはr=aのところです。

2.これは(2)をr=0からaまで積分すればよいはずです。
I=∫(0→a)(4r^2/a^3)exp(-2r/a)=(4/a^3)∫r^2exp(-2r/a)...(4)
これに不定積分の式を入れれば
I=(4/a^3)[-(a/2)exp(-2r/a)(x^2+ax+(1/2)a^2)](0→a)
計算すると
I=1-5/e^2=0.3233
になるみたいです。（計算はお確かめ下さい）