論理学……「論理の双対性」について

質問

お世話になります。

掲題の件、論理回路の項に軽く記載されており、気になったので
調べてみたのですが、よく解りませんでした。

Wikipedia ＞＞＞＞＞
命題を論理式として表したとき、論理和 ∨ と論理積 ∧ とをすべて入れ替え、全称記号 ∀ と存在記号 ∃ とをすべて入れ替えたものをもとの論理式の双対といい、入れ替えて得られた命題をもとの命題の双対命題と呼ぶ。双対の双対はきっちり元に戻る。
元の論理式が証明可能ならばその双対の否定が証明可能であり、ある論理式の否定が証明可能ならば、その論理式の双対が証明可能になる。
＜＜＜＜＜ http://goo.gl/vmSxI

ある論理式の構成要素すべてについて反対の記号へ置き換えたものを
双対と呼び、更に当該双対命題について、反対の記号へ置き換えると
元の式に戻る、という意味かと思うのですが（間違っていたらご指摘ください）、
これ自体に何の意味があるのでしょうか？

書籍では記号が多用されており、イメージがつかみにくかったので、
少しレベルを下げて、ご教示いただけると助かります。

宜しくお願いします。

回答No.2

wiz0621 · ベストアンサー

文章だけだと非常にわかりにくいことこの上ないですが、
実は小学校高学年から中学生にかけて算数の授業でやったはずの
『ド・モルガンの法則』のことですよね。

そんなもん知らん！というのであれば
四角の中に丸を二つ書いて色付けをする『ベン図』を
書けば、あああれか、と思い出すんじゃないでしょうか。
ベン図に適当に色をつけてみて、色が付いている部分を残さず言及できるなら
それは色がついてない部分を言及しているのと同じ、というやつです。

で、何に使うの？というと、上記のベン図の場合、
色が付いている部分への言及と色が付いていない部分への言及が同じなのですから
論理上、簡単に表現できるほうへ言い換えてもよい、ということになります。

算数では三日月のや弧の面積の計算のように、
計算しやすい方への書き換えを認めていますよね。
なんちゃらの定理～は、実はこういう外側から攻めて証明したものが多いです。

述語の活用でも、言いやすい方や短く表現できる方を選択してもよい、
あるいは、例外を全部証明することで本題の証明としても良い、ということでもあります。
（もちろんこの法則の前提と同じく、全体が明らかな場合に限るんですけど。）

さらに派生として、無限の場合はどうなるか、とか
哲学の研究分野としては論理否定（不合理）の場合には何が起きているか？
というネタもありますねー。

お礼

ご回答ありがとうございます。

ド・モルガンの法則、覚えています！！

ご指摘されて納得です。
また、補足のご説明や新たなテーマを与えていただき
大変感謝しております。

あらためて御礼申し上げます m(_ _)m

回答No.1

codotjtp

若し全てのAがBに属しているのでしたら、
Bの一部はAになりますよね。

お礼

はい、おっしゃるとおりで…。