論理

質問

n、mは自然数とする。(m＋1)^2＞n＞m^2－1・・・{1}について、次の命題の否定を示し、真偽を調べよ。
(1)すべてのmについて、あるnをとると{1}がなりたつ。
(2)あるnをとると、すべてのmについて{1}がなりたつ。

否定と真偽はわかるんですけど、証明の論理展開がいまいちわかりません、ヒントだけでもいいので、教えてください、よろしくお願いします。

回答No.4

shkwta · ベストアンサー

No.2の補足への回答です。

(m＋1)^2＞n＞m^2－1・・・{1}

もし、(m＋1)^2が、m^2－1より２つ以上大きいとすると、必ず(m＋1)^2とm^2－1の間の自然数があります。つまり、「あるnをとると{1}がなりたつ」という状態になります。

また、(m＋1)^2とm^2－1の差が1以下のときは、(m＋1)^2とm^2－1の間の自然数はありません。つまり、「すべてのnについて{1}がなりたたない」という状態になります。

つまり、
「すべてのnについて{1}がなりたたない」
⇔ (m＋1)^2とm^2－1の間の自然数はない ⇔ (m＋1)^2≦m^2－1+1
⇔ (m＋1)^2≦m^2 ⇔ m^2 + 2m + 1≦m^2 ⇔ 2m + 1≦0

ということで、「すべてのnについて{1}がなりたたない」と、2m + 1≦0は同値、つまり同じことをあらわしています。（同値な命題のことを、必要十分条件ともいいます。）

したがって、「あるmをとると、すべてのnについて{1}がなりたたない」は、
「あるmをとると、2m + 1≦0」（ア）
と置き換えることができます。しかし、mは自然数という条件なので、（ア）は成立しません。すなわち、「あるmをとると、すべてのnについて{1}がなりたたない」は偽です。

回答No.6

yumisamisiidesu

この問題を詳しく説明しても何なので
一般的な説明をしたいと思います
2様が言ってた de-morgan法則は重要です(これ丸覚えします)
あと覚えてほしいことは
∀a,P の否定は ∃a;(Pの否定)
∃a,P の否定は ∀a;(Pの否定)

a<b<c ⇔ (a<b ∧ b<c)

∴ a<b<c の否定は (de-morganより)
　　(a>=b ∨ b>=c) となります

回答No.5

quantum2000

No.１さんやNo.４さんの回答で十分だと思いますが、蛇足ながら・・・

{1}は，(ｍ＋１)^２＞ｎ かつ ｎ＞ｍ^２－１ である．
ということですから，
{1}の否定は，(ｍ＋１)^２＞ｎ でない かまたは ｎ＞ｍ^２－１ でない．
ということで，言い換えると，
{1}の否定は，(ｍ＋１)^２≦ｎ かまたは ｎ≦ｍ^２－１ である．
という訳です．

すると，
(1)の否定は，「あるｍがあって，すべてのｎについて，{1}でない．」
ということですが，言い換えると，
(1)の否定は，「あるｍがあって，すべてのｎについて，(ｍ＋１)^２≦ｎ かまたは ｎ≦ｍ^２－１ である．」
と言い換えられます．

すると，「(1)の否定は偽である．」ですが，それを証明するには，「(1)が真である．」を証明した方が判りやすい気がします．

つまり，No.４さんのご指摘の通り，{1}でｎをはさんでいる２つの整数
　　(ｍ＋１)^２ と ｍ^２－１
は，０または自然数で，その差を考えると，
　　(ｍ＋１)^２－(ｍ^２－１)＝２ｍ＋２
　　　　　　　　　　　　　　　≧４
ですから，この２つの整数(０または自然数)
　　(ｍ＋１)^２ と ｍ^２－１
の間に，自然数ｎが(３つ以上)存在する．
つまり，すべての自然数ｍについて，ある自然数ｎが存在して，
　　(ｍ＋１)^２＞ｎ＞ｍ^２－１
となっている訳です．［証明終］

同様に，(2)の否定は，「すべてのｎについて，あるｍが存在して，(ｍ＋１)^２＞ｎ でないかまたは ｍ^２－１＞ｎ でない．」
ということですから，言い換えると，
(2)の否定は，「すべてのｎについて，あるｍが存在して，(ｍ＋１)^２≦ｎ かまたは ｎ≦ｍ^２－１ である．
ということになります．

すると，(2)の否定は偽であり，その証明はNo.２さんの回答のとおり，
　　すべてのｎについて，例えば ｍ＝ｎ＋１ と取れば，
　　ｎ≦ｍ^２－１
の方がすぐに示せるので，(2)の否定は証明できる訳です．

回答No.3

shkwta

No.2でまちがえました。(2)のnとmが逆です。

(2)の否定は「すべてのnについて、あるmをとると{1}がなりたたない」

(2)の否定が真であることの証明
　任意のnについて、m = n + 1 とすれば{1}がなりたたない。

に訂正してください。

回答No.2

shkwta

否定する前は、(1)は真で(2)は偽です。したがって、(1)の否定は偽、(2)の否定は真となるはずです。

ドモルガンの定理により、
「すべてのＡについてＰ」の否定は「あるＡをとるとＰでない」
「あるＡをとるとＰ」の否定は「すべてのＡについてＰでない」

そこで、
(1)の否定は「あるmをとると、すべてのnについて{1}がなりたたない」
(2)の否定は「すべてのmについて、あるnをとると{1}がなりたたない」

(1)の否定が偽であることの証明
　すべてのnについて{1}がなりたたないための必要十分条件は (m + 1)^2≦m^2
⇔2m + 1≦0 これはmが自然数であることに反する。

(2)の否定が真であることの証明
　任意のmについて、n = (m + 1)^2 とすれば{1}はなりたたない。

補足

＞すべてのnについて{1}がなりたたないための必要十分条件は (m + 1)^2≦m^2
⇔2m + 1≦0 これはmが自然数であることに反する。

よく意味がわかりません。なんで2m + 1≦0がでてくるか、説明してもらわないとわかりません。

回答No.1

yumisamisiidesu

proof
(1) (m＋1)^2-(m^2－1)=2m+2>=4
∴ n=(m^2-1)+i (i=1,2,3 の内どれでもいい)
とすれば(1)が真であることがわかります
(2) 多分偽だと思うので
∀m,(m＋1)^2＞n ⇒ (1+1)^2=4 ∴n=1,2,3のどれか
∀m,n＞m^2－1 ⇒ 5^2-1=24 ∴n>24のどれか
3以下で24より大きい自然数はないので
(2)は偽です

補足

返信ありがとうございました。
＞(2) 多分偽だと思うので
∀m,(m＋1)^2＞n ⇒ (1+1)^2=4 ∴n=1,2,3のどれか
∀m,n＞m^2－1 ⇒ 5^2-1=24 ∴n>24のどれか
3以下で24より大きい自然数はないので
(2)は偽です

ここをもっと詳しく教えてください。なぜそうなるのでしょうか？