数学でいう「証明」と論理学でいう「証明」は異なるものでしょうか？

質問

数学で使われる「証明」という言葉と論理学で使われる「証明」という言葉は意味が異なるものであると思うのですが，間違いでしょうか？

公理系で挙げられる代表的な恒真式と推論規則に基づいて，別の恒真式を導くことが論理学でいう「証明」ですよね？
そして論理学的な「証明」によって得られるものは恒真式（定理）だと思います．恒真式とは情報の価値としてはゼロ（自明）です．

これに対して，数学で「証明」されるものは恒真式ではないですよね？数学における「証明」とは論理学における「演繹」に相当すると思うのですが，この考えも間違いでしょうか？

ご教授お願いします．

回答No.2

rinkun

論理学は命題論理で、数学は述語論理という違いかな。
論理学でも数学でも証明の対象となる定理は論理式（閉論理式）で、公理（真であると定めた論理式）から推論規則による演繹により論理式が恒真式であることを示すという点では違いはないと思うけど。

回答No.1

noname002

哲学カテゴリーのほうでの御質問は閉められましたね。
御返事を拝見しましたら、ちょっとまだ引っ掛かるな～？と感じまして再度お相手させていただこうと思っていたのですが間に合いませんでした。
私は数学が大の苦手ですし「論理学」のことも知りませんから、今度こそ専門的な知識のあるかたに登場していただけたら良いのですが
一応、いま御質問で挙げられているところまでは御自身で辿り着かれたうえでの疑問点だと理解して、続けさせていただきますね。
哲カテのほうでの御返事で
>つまり数学でいう「証明」は論理学でいう「演繹（より正確に言えば，数学でいう「公理」からの演繹）」ということでしょうか．

これは、そうだと思います。前回の哲カテ投稿分をもっと整理します。ですので以下は部分的に繰り返しになります。
辞書によれば「証明」とは論理学においても数学においても
真と認める（ことにしようよ、という）命題（公理）から、ある命題が正しいことを論理的に導くこと。
特に数学では「公理」（仮定や前提）から（三段論法に代表される）演繹法を使って「定理」を導くこと。
「公理」から「演繹」（演繹によって導き出されるということは、前提を認めるならば絶対的、必然的に正しいということ）によって論理的に「定理」（という要するにトートロジー）を導く。
公理系から推論規則（論理式から他の論理式を導く規則のこと）を用いて「定理」を導く過程、これが数学での「証明」である。
数学的知識「体系」とは
「恒真式」の集まりに推論規則を適用して別の新しい「恒真式」をつくり出したもの。
出発点となる恒真式の「公理」と、公理系と推論規則から導出された恒真式である「定理」の全体で一つの理論を構成するもの。
ですから、
>公理系で挙げられる代表的な恒真式と推論規則に基づいて，別の恒真式を導くことが論理学でいう「証明」ですよね？

これは「論理学で」というよりも「数学でいう」ことで

>・数学では「公理，定理」は非恒真式で「証明」は非恒真式の列．
>・論理学では「公理，定理」は恒真式で「証明」は恒真式の列．

というのは違いますでしょう。

「論理学」とは
厳密な論理とくに推論を扱い
「～でない」（否定）「～か、または」（選言）「～であり、または」（連言）「～は、みな」（総括）及び「～である」などの、ことばの単純な使用ルールを定めたものである。
そして「記号論理学」または「数理論理学」とは
命題・概念・推論などを、その要素と関係に還元して記号で表記し、論理展開を数学的演算の形で明らかにする、哲学・数学などに応用される論理学の一分野であり、論理学を＜より厳密化＞したもの。
数学の証明問題というのは「数学基礎論」というものに関わり、「記号論理学」が用いられる。

お礼

真意を汲んで下さりありがとうございます．

＞辞書によれば「証明」とは論理学においても数学においても
＞真と認める（ことにしようよ、という）命題（公理）から、ある命題が正しいことを論理的に導くこと。

論理学の「公理」は恒真式（Ａ∨￢Ａのような命題）で，これは真であることがＡの内容によらず決定する命題であると思います．これに対して，数学の「公理」は非恒真式（Ａのような命題）で，真偽は内容によって決まる命題（当然それは問われませんが．）であると思います．そういう意味で上記の記述は数学的な視点からの記述のように思います．上記の書き方に倣うとき，論理学的な「証明」とは「内容に依らず真である命題（恒真式）から内容に依らず真である命題（恒真式）を論理的に導くこと」ではないでしょうか．

＞数学的知識「体系」とは
＞「恒真式」の集まりに推論規則を適用して別の新しい「恒真式」をつくり出したもの。

こちらに関しましても上記に関連するように思います．つまり上記の「恒真式」は２つとも「非恒真式」になるのが正しいのではと思います．なぜなら恒真式から恒真式を導くとは例えば，Ａ∨￢ＡからＡ∨￢Ａ∨Ｂを導くことであり，得られたものはいわばあたりまえだと思うからです．

雑なお礼になってしまいまして申し訳ありません．
大変貴重なご意見感謝いたします．