論理

質問

ｐ（ｘ）⇒ｑ（ｘ）は「ｐ（ｘ）ならばつねにｑ（ｘ）である」とか
「ｐ（ｘ）であるようなすべてのｘに対し、ｑ（ｘ）である」の意味になります。「つねに」や「すべての」という表現が表面に現れていないときも、その意味で用いられます。ですから、この型の文は単なる条件ではなく、ｘの値によらず真偽が定まる命題であると考えてよいのです。したがってまた、ｐ（ｘ）⇒ｑ（ｘ）を考えるとき、ｐ（ｘ）を満たさないｘについては考慮する必要がありません。

１条件と命題の違いがわかりません。
２この文章を論理的にわかりやすく教えてほしいです。

以上　よろしくお願いします。

回答No.2

rinkun

「条件」という言い方は良く知りませんが、文脈からすると論理式の積もりでしょうか。
p(x)、q(x)、p(x)⇒q(x)は、それぞれ一つの自由変数xを持つ論理式です。
しかし「p(x)⇒q(x)」と書いた場合、これは通常「∀x(p(x)⇒q(x))」という命題(自由変数を持たない論理式；閉論理式とも言う)の積もりで扱います。
違いとしては
　条件：論理式で自由変数を持っても良い
　命題：自由変数を持たない論理式

また「p(x)⇒q(x)」は、論理的には「￢p(x)∨q(x)」と同じです。
# ここで￢AはAの否定、A∨BはAまたはBの意味
「p(x)⇒q(x)」を証明することを考えると、「p(x)が成り立たない」すなわち「￢p(x)」ならば、「p(x)⇒q(x)」すなわち「￢p(x)∨q(x)」が成り立つことは自明なので、「p(x)が成り立つ」場合だけ考えれば良いことになります。

回答No.1

noname#101670

条件と言うのはxはどの範囲で定まっているかを表す約束のようなものです。ここにおける条件とは「ｐ（ｘ）であるようなすべてのｘ」
です。一方命題は「ｐ（ｘ）であるようなすべてのｘに対し、ｑ（ｘ）である」を示します。ｐ（ｘ）を満たさないｘについては考慮する必要がない。その通りです。だからこそ条件と外れて考えると命題も考えることができないのです。したがって条件があって命題があるということ。
この文書を分かりやすく表現すると、P(x)が成り立つ任意のxに対して
「ｐ（ｘ）⇒ｑ（ｘ）である」という意味になります。
分かりにくい説明ですみません