命題論理で証明の仕方が分からない論理式があります

質問

論理式　￢P→(P→Q)　は最少命題論理で証明可能なのでしょうか?
直観主義命題論理では簡単に証明図が書けたのですが、最少命題論理ではいろいろ試したのですがうまくいきませんでした。
もし最少命題論理で証明可能ならばその証明図を、最少命題論理では証明できないのであればその理由を(証明不可であることを証明するなんてできないのかもしれませんが)教えてください。お願いします。

回答No.3

itshowsun

最小論理というのは知らなかったので、ご指定のサイトを読ましていただきました。
そこでは、￢A → (A→B) を公理として最小論理に加えると書いていますから、
公理をその論理体系で証明することはできません。証明できるのならそれは公理ではなく、定理です。

最小論理に公理 ￢A→（A→B）を加えれば、直観論理になるので、
直観論理では上の公理は定理になっていなければなりません。
すなわち、証明できるはずです。

回答No.2

akatsuki_0

http://en.wikipedia.org/wiki/Minimal_logic

を見ると「￢P→(P→Q)」を公理図式に加えると直観主義論理になるとありますね。
Pと￢Pがあれば任意のQを出せるということなので、実質的には

⊥
---
P

という推論規則を加えるのと同じことになるようですね。
しかし、最小論理でEFQが成り立たないことの証明はちょっと分からないです。スミマセン…。

回答No.1

muturajcp

(P→Q)={(￢P)∨Q}
だから
(￢P)→(P→Q)
={￢(￢P)}∨{(￢P)∨Q}
=P∨{(￢P)∨Q}
={P∨(￢P)}∨Q
=真∨Q
=真

お礼

早く回答をいただいたのに返事がおそくなってすいません。
(P→Q)={(￢P)∨Q}、二重否定の除去、P∨(￢P)が真、といったものが使われているということは、やはり最小命題論理では証明できない論理式のようですね。

回答ありがとうございました。