関数の性質？についてです

質問

f(x)は[0,m]で連続かつC∞級です。
このときf(0)=f(m)=0ならば
f(x)はx=0,mの近傍で０になる。

C∞級というのが必要かは不明なのですが、上記は真でしょうか？
もし真ならばどのように示せるのでしょうか？
数学初心者です、どなたかレクチャーお願い致します・・・。
（具体的な証明、解説のみ受け付けさせていただきます）

回答No.2

alice_44

「近傍で0になる」というラフな表現の
意味しだいじゃないの？

ある近傍か存在してその中で恒等的に 0
…には、なるハズもない。

x→0, x→m て f(x)→0 になることを指して
言っているのであれば、
連続関数が f(0)=f(m)=0 なら、当然そうなる。

そのレジメの前後の文章から、
意図が推測できないのだろうか？

回答No.1

muturajcp

偽です
0<m
f(x)=x(m-x)
とすると
f(x)は連続
f'(x)=m-2x
f"(x)=-2
f(x)の3回以上微分は0
f^{n'}(x)=0
だからC∞級
f(0)=f(m)=0
∀ε>0→0<∃x1=min(ε/2,m/2)<ε,f(x1)=x1(m-x1)>0
0の近傍でf(x)は0とならない
m>∃x2=max(m-ε/2,m/2)>m-ε,f(x2)=x2(m-x2)>0
mの近傍でf(x)は0とならない

お礼

ありがとうございます。
レジュメに書いてあったんですが怪しいと思ったんです。
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