関数の不連続について

質問

こういった関数f:R→Rを考えます。
『f(x) = n if n <= x < n+1 , n∈R』
このとき、fは不連続であることをε-δで示す問題が解けません。

|f(x) - f(y)|は整数値になるので、εを例えば1/2とでもおけば、
どうにか証明できるのかなと思うのですが、
もしxもyも同じ[n,n+1)の間にいれば、|f(x) - f(y)|は0になってしまい、
むしろ連続であることを証明してしまうのではないかと思います。

どうにか不連続であることを証明できますでしょうか？
もしくは実は連続なのでしょうか？
舌足らずな文章で申し訳ありませんが、ご教授お願いします。

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

> もしxもyも同じ[n,n+1)の間にいれば、|f(x) - f(y)|は0になっ
> てしまい、むしろ連続であることを証明してしまうのではないか
> と思います。

確かに、与えられた関数は、[n,n+1) で連続です。

関数が不連続（というか、「連続でない」）とは、連続でない点がひとつでもあればいえることです。
これは例えば、 x = n になります。
ｘ = n - δ と、y = n + δ で考えれば、x = n で連続でないことが説明できると思います。

お礼

ご回答ありがとうございます！
そうですね、いまx=n-(δ/3)、y=n+(δ/3)としてやってみたら、
|x-y|=2δ/3 < δ で、|f(x) - f(y)| = 1 > 1/2
となり、証明できました。