関数の連続性

質問

社会人になってまた数学の勉強始めたんですが、いきなり躓いてしまいました。どなたか助けてください。「無限と連続」の数学　という本を現在やっています。

関数 y=f(x) が x=a で連続であるための必要十分条件は
a に収束する任意の数列 a[n] について、数列 { f(a[n]) } が f(a) に収束することである

この定理の証明なのですが、 x=a で連続である時 { f(a[n]) } が f(a) に収束することは示せたのですが、逆に { f(a[n]) } が f(a) に収束するとき　x=a　で連続であるというのが示せません。というか成り立たない気がするのですが…

以下、私の考え↓
f(x)を次のように定義します
ｘ＝a[n] のとき　a[n]
x=a のとき a
x=/=a　かつ x=/=a[n]のとき　a+3

この関数の場合 { f(a[n]) }は f(a) に収束するが、x=aが連続でないという命題が示せてしまう
任意のδ>0 s.t. 存在するx∈R |x-a|<δかつ|f(x)-f(a)|>=2　を示す

どのようなδをとっても、開区間(a-δ,a+δ)のなかにはx=/=a　かつ x=/=a[n]　を満たす点が存在しいてしまうのでf(x)はそのxの値においてa+3の値をとり、|f(x)-f(a)|>=2をみたすので上記の命題は真になる

以上が私の考えです。ただ、ちょっと不安に思う点があります。
wikipediaの関数の連続性について書かれている記事だと（http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95）
s.t.のすぐ後に「任意のx∈R」とあります。だから連続の命題の否定は
存在するε>0 任意のδ>0 s.t. 存在するx∈R |x-a|<δかつ |f(x)-f(a)|>=ε
になるのではないかと思うのですが、私の取り組んでいる本には「存在するx∈R」のような表記がありません。
私の考えはどこで間違っているのでしょうか。

回答No.2

funoe · ベストアンサー

a に収束する任意の数列 a[n] について、数列 { f(a[n]) } が f(a) に収束する　　　
⇒　
関数 y=f(x) が x=a で連続である
－－

ａに収束する、どんな数列を持ってきても、ことごとく、ｆ（a(n)）がf(a)に収束しているとき　　ってのが条件なんだから、
たまたま、ある特別なa(n)→a　を見つけて否定しようとしてもダメでしょ。

「任意の」っていう言葉を見落としちゃいけませんぜ。

***
この証明は対偶を考えるのが常道。
連続でないならあるεがあって、どんなδをとっても｜f(x)-a｜>εとできる。・・・。
一個x0を見つけてそれより小さいδに対するx1を見つけて・・・・。

お礼

「任意の」数列というのを完全に見落としていました
こんなつまらないミスで二日ぐらい悩んでしまった

ご指摘ありがとうございました
もう一度考えてみます

回答No.1

phyonco

> f(x)を次のように定義します

できません。f(x)が任意であるはずのa[n]に依存してしまっています。

あと、連続の定義の中の「任意のx∈R」は必須です。

独学をする場合、教科書を一冊に固定するのは非常に危険です。時々図書館などに行き、他の本にどう書いてあるか、５～６冊の教科書を調べるべきでしょう。

お礼

そうですね　一冊に固定すると躓いたとき困りますね
わからないまま先に進めないし、一人で悶々と考えても自分の考えの欠陥に気づけなかったです

躓いたら図書館に行って同じような本を探してみることにします
同じテーマの本でもなにかしら発見があるかもしれませんね

回答ありがとうございました