位相についての質問です。

質問

(X,dx)(Y,dy)を距離空間とし、f;X→Yを写像とする。fはXの任意の2点x1,x2に対して
dx(x1,x2)=dy(f(x1),f(x2))（等長写像）
を満たすとし、次の問いに答えよ。
（１）fがX上で連続であることを証明せよ。
（２）fが単射であることを証明せよ
（３）fが全射であれば、逆写像f-1が存在してf-1も等長写像であることを示せ
　　　またf-1の連続性も調べよ
　という問題です。
（１）はdxのδ近傍がｆで送ったdyのε近傍に収まりかつδ＝εという証明をしました。
（２）はｘ１とｘ２が異なるのでf(x1)もf(x2)も異なるという証明をしました？
（３）がわかりません
というか、（１）も（２）も証明になっているか不安です。
どなたか教えていただけないでしょうか。
お願いします。

回答No.2

arrysthmia

(1) はソレで良さげ、
(2) はダメそうな気配がしています。

(1)
証明すべき命題は、「連続」の定義により、
∀x1∈X, ∀x2∈X, ∀ε>0, ∃δ>0, dx(x1,x2)<δ ⇒ dy(f(x1),f(x2))<ε
です。 これは、所与の
∀x1∈X, ∀x2∈X, dx(x1,x2)=dy(f(x1),f(x2))　　　…(*)
により
∀x1∈X, ∀x2∈X, ∀ε>0, ∃δ>0, dx(x1,x2)<δ ⇒ dx(x1,x2)<ε
すなわち
∀x1∈X, ∀x2∈X, ∀ε>0, ∃δ>0, δ≦ε
と同値です。

∀ε>0, ∃δ>0, δ≦ε
は、実数の稠密性により成立しています。

証明は「δ≦ε であるような δ をとれば良い」で終わりなのですが、
そのような δ の一例として δ＝ε を挙げても、もちろん十分です。

(2)
質問文中のコメントでは、「単射」を言い換えたダケに見えます。
それが成立していることを、証明しないと。

証明すべき命題は、仰るとおり、
∀x1∈X, ∀x2∈X, x1≠x2 ⇒ f(x1)≠f(x2)
ですが、対偶をとって
∀x1∈X, ∀x2∈X, f(x1)=f(x2) ⇒ x1=x2
のほうが見やすいでしょう。

「距離」の定義(の一部)より
x1=x2 ⇔ dx(x1,x2)=0
f(x1)=f(x2) ⇔ dy(f(x1),f(x2))=0
ですから、(*) により
f(x1)=f(x2) ⇒ dy(f(x1),f(x2))=0 ⇒ dx(x1,x2)=0 ⇒ x1=x2
が成立します。

(3) は、三つの部分に分けます。
(3a) fが全射であれば、逆写像f-1が存在して
(3b) f-1も等長写像であることを示せ
(3c) またf-1の連続性も調べよ

(3a) は、「逆写像」の定義。
(3b) は、式 (*) そのまんま。
(3c) は、形式上、まじめにεδをする必要があるでしょうが、
　　　内容的には、等長写像であることから
　　　(1) 程度のナンチャッテεδになります。

補足

わかりやすい説明ありがとうございます。
助かりました。

回答No.1

koko_u_u

>（１）も（２）も証明になっているか不安です。

であれば、その証明の全文を補足にどうぞ。