関数の連続性について

質問

関数ｆ(x)が区間Ｉで連続のとき
|ｆ(x)|もＩで連続であることの証明は
どうやったらできるのでしょうか？
x=aで連続ならx→ａのときf(x)→f(a)
というところまでは理解できたんですが
略解の

||f(x)|-|f(a)||≦|f(x)-f(a)|

というこの式を導く方法がわかりません
詳しい証明方法がわかる方
回答をお願いいたします。

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

三角不等式
|u+v|≦|u|+|v|
にu=s-t、v=tを代入すると
|x|=|(s-t)+t|≦|s-t|+|t|
したがって、|s|-|t|≦|s-t|
sにs=f(x)、tにt=f(a)を代入すると
|f(x)|-|f(a)|≦|f(x)-f(a)|
同様にして、sにs=f(a)、tにt=f(x)を代入すると
|f(a)|-|f(x)|≦|f(x)-f(a)|
となります。
||f(x)|-|f(a)||の外の絶対値を外すと
||f(x)|-|f(a)||=|f(x)|-|f(a)|　( |f(x)|≧|f(a)|のとき )
||f(x)|-|f(a)||=|f(a)|-|f(x)|　( |f(x)|＜|f(a)|のとき )
ですから、いずれにしても、||f(x)|-|f(a)||≦|f(x)-f(a)|となります。

お礼

参考になりました
ありがとうございます
上の三角不等式の証明も参考になりました。

回答No.2

yoikagari

念のため三角不等式|u+v|≦|u|+|v|の証明をしておきます。
この証明には、|x|^2=x^2、|x||y|=|xy|などの絶対値の性質を断りなしに使用しています。

(|u|+|v|)^2-(|u+v|)^2=|u|^2+2|u||v|+|v|^2-(u+v)^2=u^2+2|uv|+v^2-u^2-2uv-v^2=2(|xy|-xy)

xy≧0のとき|xy|=xy
xy＜0のとき|xy|=-xy＞xyだから|xy|≧xy

だから2(|xy|-xy)≧0となる。

(|u|+|v|)^2-(|u+v|)^2≧0が示されたので、|u|+|v|≧|u+v|も示されたことになる。