１階導関数の評価

質問

f(x)が閉区間[0,1]で２回連続微分可能で
|f '(x)|<1, |f ''(x)|<M が満たされているとします。f '(x) がある x0 ∈[0,1] で非常に大きな値をとったとすると、f(x)が|f(x)|<1の範囲から出ないためには|f '(x)|はxがx0 から離れるにつれて小さくならなければなりません。しかしf '(x)の変化率は|f ''(x)|<M で抑えられています。従って上の条件のとき|f '(x)|の上限が存在すると思います。f(x)が x = a で最小値、x = bで最大値、
f '(x)が x = x0 で最大値d をとるとし(閉区間で連続なのでこれらは存在します)、a < x0 < b と仮定します。すると
　f(b) = f(x0) + ∫[x0～b] f '(t) dt
　f '(t) = d + ∫[x0～t] f ''(u) du > d - M(t - x0)　
より
　f(b) > f(x0) + ∫[x0～b] {d - M(t - x0)} dt
　= f(x0) + d(b - x0) - (M/2)(b - x0)^2
同様に
　f(a) < f(x0) + d(a - x0) + (M/2)(a - x0)^2
よって
　2 > f(b) - f(a) > d(b - a) - (M/2){ (b - x0)^2 + (x0 - a)^2 }
固定されたMに対してdを最大にできるのは、たぶん
b - a = 1, x0 = 1/2
の場合で、このとき d = c√M とおくと
　2 > d - M/4 = c√M - M/4 = c^2 - (1/4)(√M - 2c)^2
よって c = √2 ととれば任意の M > 0 に対して不等式を成立させることができるので
　|f '(x)| ≦ √(2M)
という評価が得られるのではないかと思ったのですが、上で「たぶん」と書いた所やその他の穴を埋めて証明を完全にできるでしょうか。それとも全然違う方針で証明した方が良いでしょうか。

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

なるほど、そんな感じの流れでいけそうですね。

でも、
＞　|f '(x)| ≦ √(2M)
＞という評価が得られるのではないかと思ったのですが、
f(x)=x^2+x-1は、|f(x)|≦1,|f''(x)|≦M=2を満たします。
しかし、f'(1)=3なので、3=|f'(1)|≧√2M=2です。
反例が見つかるので、間違いですね。(|f(x)|≦1などと等号がつくので、厳密には反例ではないですが、ここから簡単に反例が見つかります)

間違いの原因は、
＞固定されたMに対してdを最大にできるのは、たぶん
＞b - a = 1, x0 = 1/2
ここでしょう。
(M/2){ (b - x0)^2 + (x0 - a)^2 }
をx_0について平方完成すれば、x_0=(a+b)/2の時に「最小」となる事が分かります。しかし、
＞　2 > f(b) - f(a) > d(b - a) - (M/2){ (b - x0)^2 + (x0 - a)^2 }
を見る限り、むしろ、{ (b - x0)^2 + (x0 - a)^2 }が、大きい時の方がdを大きくできますよね。

＞a < x0 < b
という仮定から、(b - x0)^2 + (x0 - a)^2≦(b-a)^2となるので、
d<{2+ (M/2){ (b - x0)^2 + (x0 - a)^2 }}/(b-a)
≦{2+ (M/2)(b-a)^2}/(b-a)
≦2√M(b-a)^2/(b-a)　　(相加相乗平均)
=2√M
となります。
(もとの問題は、|f'(x)|≦c√Mなるcが存在する事を示す問題でしたよね?)

ただ、私には、
＞a < x0 < b
という仮定が必ずしも正しいとは思えません。x_0<a<b、a<b<x_0の場合もあるかと思います。もし、a < x0 < bとしても一般性を失わないのであれば、この流れで問題なさそうですが、そうでないのなら、区間[0,1]を長さがb-a以下の有限個の区間に分割すればいい気がします。(深くは考えてませんが)

回答No.6

katadanaoki

おもしろそうですね。ところで、２行目

>|f '(x)|<1, |f ''(x)|<M が満たされているとします。

は、|f(x)|<1の書き間違いですか？
あと、時間が経過してるようですが、進展はありましたでしょうか？

回答No.5

endlessriver

＃４です。誤りました。
M/n<1 でMは大きな数ですから
|f_'(x)|≦M/n<1<√M < M
でした。

回答No.4

endlessriver

区間[0,1]を (n^2)/2等分して(nは大きな自然数)、その分割区間を底辺とし、Mをピークとする２等辺三角形が n個並んだ鋸波の列を考えます。これをf_''(x)の関数とします。

３角形の面積はM/(n^2)で、区間[0,1]の全体のn個の３角形の面積はM/nとなります。すると積分定数を除いたものをとるとf_'(x)の関数は０からn個のなめらかな階段が続き、n個目からはM/nの一定の値となります。
すなわち、|f_'(x)|≦M/n　(1)

次にf_'(x)を最大M/nの一定の曲線と考えて[0,1]積分すると、これも|f_(x)|≦M/n
ここでも積分定数を除いたものをf(x)とする（f(x)は具体的に求められますが議論には必要ないので。本来はこの関数をとって逆に議論をたどる）。

Mが非常に大きな数でもnも大きくとれば|f_(x)|≦M/n<1 にできる。すると条件を満たすので、結論の議論になります。

(1)の右辺がc√M になるとすれば
c=(√M)/n　となってMに無関係にとれません。

でも、不思議ですよね、多くの関数が命題の条件を満たすようにみえるのに。

回答No.3

eatern27

#1です。

>≦{2+ (M/2)(b-a)^2}/(b-a)
>≦2√M(b-a)^2/(b-a)　　(相加相乗平均)

あ、不等号の向きが逆ですね^^;
失礼しました。

d<{2+ (M/2)(b-a)^2}/(b-a)
の右辺は、十分大きなＭに対しては、Ｍのオーダーで大きくできますし、
十分小さなＭに対しては、2/(b-a)まで大きく出来ますから、
dと√Mとは関係なさそうです。

なので、#2さんの仰るように、cはMと無関係にとれなさそうです。

回答No.2

endlessriver

もとの|f_'(x)|≦c√(M)で考えます。例として
f(x)=ax(aは0<a<1の定数。a=0.5とでも)を取る。
f_'(x)=a, f_''(x)=0
すると、|f|<1, 任意の小さいM>0に対して|f_''|≦M　とできます。
もし|f_'(x)|≦c√(M)とできるならc=a/√(M)となって、cはMに無関係にとれません。

お礼

ご回答ありがとうございます。解析学一般の方法として、パラメータが大きくなったときにどのような不等式で抑えられるかを見るというのがあると思います。例えばoをランダウの記号として
　An ～ o(1/n^2)
ならば
　n * An → 0, (n→∞)
という具合です。Mが小さい場合よりはむしろMが大きい場合に
|f_'(x)|がどのような不等式で抑えられるのかを考えて頂きたいと思います。