導関数と微文法

質問

教科書に書いている証明のことについて質問です
f(x)がx=aにおいて微分可能ならばf(x)はx=aにおいて連続である
証明
f(x)がx=aで微分可能ならばf’(a)が存在するからlim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく）＝lim(x-a)*{f(x)-f(a)}/(x-a)←（xがaに近づく)
=0*f'(a)=0
よってlimf(x)←（xがaに近づく)＝ｆ（a）となりＸ＝aで連続である。
上記のでだしのlim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく）＝lim(x-a)*{f(x)-f(a)}/(x-a)←（xがaに近づく)はなぜこのようなるのですか？何を言いたいのか分かりません。lim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく）なぜこの式からはじめたのか分かりません、誰か詳しく教えてください。
なぜ０になるのですか？お願いします。初心者

回答No.4

pyon1956 · ベストアンサー

連続とは？limf(x)(x→a)=f(a)であること。
これはlim{f(x)-f(a)}(x→a)=0と同値。これが「lim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく）なぜこの式からはじめたのか」の理由。この極限が０になる事を示せば良い。
x=aで微分可能とはf'(a)=lim{f(x)-f(a)/(x-a)(x→a)が存在し有限確定である事。この時aの近傍ではx-aは有限の値なので(x-a)f'(a)も存在し、有限確定の値をとるので、「lim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく）＝lim(x-a)*{f(x)-f(a)}/(x-a)←（xがaに近づく)
=0*f'(a)=0」という計算が可能。最後の部分、lim(x-a)(x→a9=0だからこうなることに注意。

お礼

有難うございました。理解できました

回答No.3

take008

教科書の証明を理解しようとする前に，自分で証明してみようとすると，証明できなくても教科書のが理解しやすくなりますよ。
証明したいことを言い換えると（lim はすべて ｘ→ａ）
lim (f(x)-f(a))/(x-a)＝k（有限の値）⇒ lim f(x)＝f(a)（すなわち lim (f(x)-f(a)＝0）
ここから証明
f(x)-f(a)＝(f(x)-f(a))/(x-a)×(x-a)
lim (f(x)-f(a))＝lim [(f(x)-f(a))/(x-a)×(x-a)]＝[lim (f(x)-f(a))/(x-a)]×[lim (x-a)]＝k×0＝0
証明終わり
別解（背理法）
lim f(x)≠f(a) とすると lim (f(x)-f(a))/(x-a) が (0でない)/0 となり（不定形でないので）極限が存在しない。

お礼

有難うございました。理解できました

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

No.1 です。

２）で出てくる式は、「写し間違い」ではないですね。
もとの質問ので正しいです。
その後、もう一段変形すると、２）の式になります。

お礼

有難うございました、理解できました

回答No.1

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

順序としてはこういうことです。

１）f(x) が x = a で連続であるという定義は？
　　これと、 f(x) - f(a) (x → a）との関係は？
　　※この答えが、lim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく）で始める理由

２）f(x) の x = a における導関数の定義は？
　　※これを変形すると、lim{f(x)-f(a)}←(xがaに近づく）＝lim(x-a)*{f(x)-f(a)}/(x-a)←（xがaに近づく)
　　というのは、多分、写し間違いで、正しくは、
(f(x) - f(a)) = (x - a)f'(a) (x → a)

３） f'(a) が存在する、すなわち有限な定数であることから、f(x) - f(a) (x → a) が、計算できて、これと １）を比べると、問題は証明できます。