大学数学

質問

danceagainhahahaさん

次の関数のn次導関数を求めよ。

（1）√x

（2）ln（2x＋3）

（3）2＾x

（4）x＾3 /x＋1

（5）1/x＾2＋xー2

（6）sin＾2x
宜しくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

高校数学の復習問題なので、大学数学なら、丸投げ丸写しはやめて分かるところは自力でやりましょう。次回から分かる所の途中計算を書いて分からない箇所だけ質問するようにして下さい。

（1）
y=√x=x^(1/2)
y'=(1/2)x^(-1/2)
y''=(1/2)(-1/2)x^(-3/2)=-(1/4)x^(-3/2)=-(1!!/2^2)x^(-3/2)
y'''=(1/2)(-1/2)(-3/2)x^(-5/2)=(3!!/2^3)x^(-5/2)
y''''=y^(4)=(1/2)(-1/2)(-3/2)(-5/2)x^(-7/2)=-(5!!/2^4)x^(-7/2)
...
y^(n)=(1/2)(-1/2)(-3/2)*...*(-(2n-3)/2)x^(-(2n-1)/2)
=(-(-1)^n)*((2n-3)!!/2^n)/(√x)^(2n-1)
(nは整数、n≧2)

(m!!はダブル階乗です。(2m)!!=2m(2m-2)(2m-4)*…*2, (2m-1)!!=(2m-1)(2m-3)(2m-5)*…*3*1)
（2）
y=ln（2x＋3)=ln(2(x+(3/2))=ln2+ln(x+(3/2))
y'=1/(x+(3/2))=(x+(3/2))^(-1)
y''=(-1)(x+(3/2))^(-2)
y'''=(-1)(-2)(x+(3/2))^(-3)
...
y^(n)=-((-1)^n)(n-1)!*(x+(3/2))^(-n)

（3）
y=2^x=e^(xln(2))
y'=(ln(2))*e^(xln(2))=(ln(2))2^x
y''=((ln(2))^2)*e^(xln(2))=((ln(2))^2)*2^x
...
y^(n)=((ln(2))^n)*e^(xln(2))=((ln(2))^n)*2^x

（4）
x+1=tとおくと dx=dt
y=(t-1)^3/t=-t^(-1)+3-3t+t^2
y'=dy/dx=(dy/dt)(dt/dx)=dy/dt
=t^(-2)-3+2t
=(x+1)^(-2)-3+2(x+1)=1/(x+1)^2 -3+2(x+1)=(2x+3)(x^2)(/(x+1)^2
y''=d^2(y)/dx^2=(d(dy/dx)/dt)(dt/dx)=(d(dy/dx)/dt)=d^2(y)/dt^2
=-2t^(-3) +2
=-2(x+1)^(-3) +2=2 -2/(x+1)^3=2x(x^2+3x+3)/(x+1)^3
y'''=d^3(y)/dx^3=(d(d^2y/dx^2)/dt)(dt/dx)=d^3(y)/dt^3
=(-2)(-3)t^(-4)=6/t^4
=6(x+1)^(-4)=6/(x+1)^4
y''''=d^4(y)/dx^4=d^4(y)/dt^4
=(-1)^3*4!t^(-5)=-24/t^5
=-24/(x+1)^5
...
y^(n)=-((-1)^n)n!/t^(n+1)
=-((-1)^n)n!/(x+1)^(n+1)
(nは整数、n≧3)

（5）
y=1/(x^2+x-2)=1/((x+2)(x-1))=(1/3){1/(x-1) -1/(x+2)}
=(1/3){(x-1)^(-1) -(x-2)^(-1)}
y'=(1/3)(-1){(x-1)^(-2) -(x-2)^(-2)}
y''=(1/3)(-1)^2*2{(x-1)^(-3) -(x-2)^(-3)}
y'''=(1/3)(-1)^3*3!*{(x-1)^(-4) -(x-2)^(-4)}
...
y^(n)=(1/3)(-1)^n*n!*{(x-1)^(-(n+1)) -(x-2)^(-(n+1))}
=(1/3)(-1)^n*n!*{1/(x-1)^(n+1) -1/(x-2)^(n+1)}
(nは整数,n≧0)

（6）
y=sin^2(x)=(1/2)-(1/2)cos(2x) (2倍角の公式より)
y'=sin(2x)
y''=2cos(2x)
y'''=-4sin(2x)
y''''=-8cos(2x)
y^(5)=y'''''=16sin(2x)
...
n=2m-1,2m(mは１以上の整数)で分ける。
y^(2m-1)=(-(-1)^m)(2^(2m-2))sin(2x)
y^(2m)=(-(-1)^m)(2^(2m-1))cos(2x)

回答No.1

B-juggler

指定された人でないけど。

電気屋さん上がりの代数学屋です。

ｎ次の導関数ね。

とりあえず、二，三回微分をしてみる！

これに尽きると思いますよ。

（１）√ｘ＝ｘ＾（１／２）　（＝ｆ（ｘ）　とします）

ｄｆ（ｘ）／ｄｘ　＝　（１／２）×ｘ＾（－１／２）

もう一回！

ｄ＾２ｆ（ｘ）／ｄｘ＾２　＝　（１／２）×（－１／２）×ｘ＾｛（－１／２）－１｝

　　　　　　　　　　　　　＝（－１／４）×ｘ＾（－３／２）

で、こうなってみると、次は係数として

（－３／２）が出てくる。ｘ＾のところは、－１　してあげる。

係数は、なんか数列になっていそう？

ｘ＾｛｝も　｛｝内は－１×ｎ　と引いているだけな気がする？？

あんまり難しく考えずに、素直にやってみた方がいいと思うよ。

そして、丸投げせずに自分が出来たところまでは書こう！

そうしないと損をしているよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)