大学初等数学

質問

f(x)=ln(1+x^2)の時
f^(n)(0)を求める問題で教科書には

ln(1+x)のマクローリン展開を利用してxをx^2で置き換えた式と

テイラー展開の公式である
f(x)=Σ_n=1~∞f^(n)(0)*x^n/n！

を比 較してって書いてあって答えが出されてるんですけどそれがよくわかりません

教えていただきたいです

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

＞２つの方法での展開式を求める途中計算を示して、同じ答えになることを示せば良いでしょう。

いやいや，そうじゃなくって

ln(1+x)をマクロリン展開してx^2を代入すれば
ln(1+x^2)のマクロリン展開を求めたことになる一方で
マクロリン展開の公式ってのは
f(x)=Σ_n=1~∞f^(n)(0)*x^n/n！
なんだから，
両方のx^nの係数を比較すれば
f^(n)(0)はすぐみえるでしょうということです

ln(1+x^2)を直接展開したものとと
ln(1+x)の展開にx^2を代入したものが等しいことを示すのではなく，
それらが等しいから，係数比較でf^(n)(0)がわかるという話です．

ちなみにln(1+x)の展開は
1/(1+x)の展開を考えて（これは無限等比級数の和）
項別積分すればいいのです．

回答No.1

info222_

>f(x)=ln(1+x^2)の時
>f^(n)(0)を求める問題で教科書には
>ln(1+x)のマクローリン展開を利用してxをx^2で置き換えた式と
>テイラー展開の公式である
>f(x)=Σ_n=1~∞f^(n)(0)*x^n/n！
>を比 較してって書いてあって答えが出されてるんですけどそれがよくわかりません.

２つの方法での展開式を求める途中計算を示して、同じ答えになることを示せば良いでしょう。
つまり、後者のxの奇数べき項の係数=0,すなわちｆ^(2n-1)(0)=0 (全てのnについて)となり、前者と後者の両者の偶数べき項がすべて一致することを示せば良いでしょう。

展開した答えは
f(x)=x^2-x^4/2+x^6/3-x^8/4+R10(x)
ただし、R10(x)は（xの10乗以上の）余剰項です。