大学の数学（極限）

質問

次の極限値は存在するか。存在するならば、その値を求めよ。

（１）　lim (x,y)→（０，０）（　sin(πx)sin(πｙ））/(sin^2(πx)+sin~2(πy))

御教授宜しくお願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

まず，(x,y)→(0,0)⇔√(x^2+y^2)→0だから|x|≦√(x^2+y^2),|y|≦√(x^2+y^2)よりx→0かつy→0です．

また，sinx→x(x→0)です．

よって，

sinπxsinπｙ/(sin^2πx+sin^2πy)→π^2xy/{π^2(x^2+y^2)}=xy/(x^2+y^2)

x=ρcosθ,y=ρsinθとおくと，(x,y)→(0,0)⇔ρ→0で

xy/(x^2+y^2)=ρ^2cosθsinθ/ρ^2=cosθsinθ=(1/2)sin2θ

これはθの値により0だったり1/2だったりして一定の値に近づかないから，極限は存在しません．

回答No.1

info22_

y軸に沿って(0,0)に近づけると
lim y→０{lim x→０（　sin(πx)sin(πｙ））/(sin^2(πx)+sin~2(πy))}
=lim y→０（　０sin(πｙ））/(０+sin~2(πy))
=lim y→０（０/(０+sin~2(πy))
=lim y→０ ０
=０

y=xの直線に沿って(0,0)に近づけると
lim y→０{lim x→y（　sin(πx)sin(πｙ））/(sin^2(πx)+sin~2(πy))}
=lim y→０（sin^2(πｙ））/(2sin~2(πy))
=lim y→０ 1/2
=1/2

(x,y)→(0,0)の極限の取り方により極限値が異なるので
極限値は存在しない。