微分の問題

質問

sin^－1{x/(1＋x^2}の微分

次のｎ階導関数を求めよ。
(1）1/(x＋2)
(2)1/(x＋2)(x－1)
(3)sin(2x＋1)
(4)x^3×sinx
わかるやつだけでいいので教えてください

回答No.1

zyoi

sin^-1x(=arcsinx)の微分と合成関数の微分を組み合わせれば解けます。

(1){1/(x+2)}' = 1/(x+2)^2
{1/(x+2)}'' ={1/(x+2)^2}' = 1*2/(x+2)^3
{1/(x+2)}'''={2/(x+2)^3}' = 1*2*3/(x+2)^4
分子はあえて計算しきってません。これでn階微分がどうなるか大方予測できると思います。

(2)1/(x+2)(x-1)=-1/3(1/x+2 - 1/x-1) となるので、後は(1)と同様の考え方です。

(3)sinのを微分してゆくと、
　　sin→cos→-sin→-cos→sin→…
　と、４階微分で一周期なので、n=4k、n=4k+1、n=4k+2、n=4k+3で場合分けする必要があります。あと、中身の2x+1により、毎回xの係数の2が
飛び出してくることにも注意してください(実際に何回か微分してみればわかります。)