大学の不定積分について

質問

レポート課題の以下の問題がわかりません、よろしくお願いします<(_ _)>

・次の関数の不定積分を求めよ。
x/(-6+5x-x^2)^(1/2)

・次を示せ。
1)∫(tan(x))^n dx=(tan(x))^(n-1)/(n-1)-∫(tan(x))^(n-2) dx (n≧2)
2)∫(log(x))^n dx=x(log(x))^n-n∫(log(x))^(n-1) dx (n≧１)
3)I_n=∫{sin(nx)/sin(x)}dxとしたとき、(n-1)(I_n-I_(n-2))=2sin(n-1)x (n≧２)

解答は答えだけでなく、導く過程もよろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

一問目：
見たことあるかないか、気づくかどうかだけの問題ではありますが…
部分分数分解にある程度慣れていれば、処理できるかなと思います。

分母の √ 内を平方完成して、z = ax+b と置くと、
∫{ x/√(-6+5x-x^2) }dx = ∫{ (Az+B)/√(1-z^2) }dz と変形できます。
∫{ 1/√(1-z^2) }dz は、知っていなければいけない有名な積分であり、
∫{ z/√(1-z^2) }dz は、w = z^2 で容易に置換積分できますから、
A, B を算出して線型結合を作れば、与式の積分ができます。

二問目：
どれも、初等的なギミックで示すことができます。
示すべき式をじっと眺めていると、気がつくことだと思うのですが。
(数学的帰納法を使うのは、与式が証明できた後の話です。)

1)　tan の微分公式 (tan x)^2 = (d/dx)(tan x) - 1 に
　　(tan x)^(n-1) を掛けて積分する。
2)　{ (d/dx)x }・(log x)^n を部分積分する。
3)　和積公式より sin(nx) - sin((n-2)x) = 2 cos((n-1)x) sin(x)
　　これを sin x で割って積分する。

答案は、自分で作ってください。

お礼

わかりやすかったです、ありがとうございました!<(_ _)>

回答No.1

info22_

レポート課題については丸回答できかねます。

ヒントだけ
前半）
WolframAlphaサイト
http://www.wolframalpha.com/
で
integrate(x/Sqrt(-6+5*x-x^2),x)
と入力し実行、「Show steps 」押しで積分の計算をしてくれます。
チャンと理解してからレポートにまとめること。

後半）
数学的帰納法と部分分数展開でやってみて下さい。