高校数学

質問

下記の問題を教えてください。
１）ｙ＝ｘ＾４－ｘ＾３のグラフとｘ軸が囲む図形の面積を求めよ。
で、この問題を解くにはいちいち、微分、二重微分して増減表を書き、グラフを書いてから、積分するのですか？
２）ｙ＝（sinｘ）＾２のグラフをかけ。
２sinｘとか、sin3xとか、sin（シータ+π/２）とかはわかるのですが、２乗は手の付けようがありません。まずどうしたらよいでしょう。
３）ｎを自然数とするとき、関数ｙ＝ｘ＾（２ｎ+１）ー（２ｎ+１）ｘのグラフの概形を書け。
これも手の付けようがございません。
お教え願います。

回答No.3

ararabre · ベストアンサー

1）は、
ｙ＝ｘ＾４－ｘ＾３
＝ｘ＾３（ｘ－１）と変形できます。
よって、このグラフとｘ軸（ｙ＝０のグラフ）との交点は、
ｘ＾３（ｘ－１）＝０の解ｘとなります。
この解はｘ＝０，１ですから、
ｘ＝０，１でｙ＝ｘ＾４－ｘ＾３と
ｘ軸は交点を持ちます。
つまり囲まれる面積はｘ＝０から１の間であることがわかります。
ここで、０から１の間で、
ｙ＝ｘ＾４－ｘ＾３はずっとマイナスです。
（ｘに適当な値、たとえば1/2などいれることによってわかります）
つまり、ｙ＝ｘ＾４－ｘ＾３はこの間ｘ軸より下にあるわけですね。
よって、０から１の間で、ｘ＾４－ｘ＾３を積分したもの（定積分）は
負であることがわかります。
つまり”面積”としての答えは負を正に直す意味で最後にマイナスをつければいいということになります。

回答No.2

ararabre

2は、
(sinx)^2=(1-cos2x)/2と変形して、（半角の公式）
ｙ＝(1-cos2x)/2、つまり
y=1/2 - cos2x/2　のグラフを描けばよいと思います。
式の変形で
描くことができる形の三角関数のグラフにするのがポイントです。

回答No.1

puchner

１）について
基本的に、この手の問題はX軸との交点を求めないと始まりませんから、まずはどのようなグラフであるか確認する必要がありますよね。
で、求めた交点を利用して積分すれば良いわけですね。
式から確実に原点を通るのは分かりますね。
きっと、原点も頂点の一つだと思いますよー。

２）について
合成関数の微分が出来れば問題ないのではないでしょうか。

３）について
ｎが自然数、ということですから、最高次数は確実に奇数になるわけですよね。
てことは、大体のグラフが浮かんできませんか？
あとは、微分してどの辺りが頂点になるかを考えれば、難しいことではないと思いますよ。頑張ってください。
まぁ、原点を通って、最高次数が奇数の関数の特徴を持っているんでしょうね。

補足

１）なのですが、ｙ＝ｘ＾４－ｘ＾２の問題では、－∫になります。
このマイナスは、グラフを書かないほかにどうやってマイナスを付けることを判断するんですか。
２）すみません。合成関数の微分って何ですか。２sinｘってことですか。
恐れ入りますが、再度お教願います。