磁気双極子の計算で困っています。

質問

磁気モーメントm＝qd、双極子からr[m]離れた点で、上側のL1を求めたいのですが、

L1＝{r^2 + (d^（2）/2)^2 - rd・cosθ }　

ｒ》dのため

L1≒r｛1 - (d/r)・cosθ｝^1/2 ≒ｒ｛1-(d/2r)・cosθ｝＝r-（ｄ/2)・cosθ

分からないのは、3行目の1/2乗（√）が外れて分母に2が掛けられる理由が分かりません。分かる方は教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

|x| << 1 のとき，(1+x)^s ≒ １＋sxを使っています．
今は， x= (d/r)・cosθ，s = 1/2 になっています．
証明はテーラー展開で最低次を取ればＯＫ．
とてもよく使われる公式です．

回答No.2

htms42

ｘ＜＜１の時、√(１＋ｘ)≒１＋ｘ／２　です。
テイラー展開で出てくる近似式です。
「微分」を使って出す展開公式だということで難しいと感じるのかもしれません。

√(１＋ｘ)－１≒ｘ／２　です。
この式は微分を使わなくても出てきます。

√(１＋ｘ)－１＝(√(１＋ｘ)－１)(√(１＋ｘ)＋１)/(√(１＋ｘ)＋１)
　　　　　　　＝ｘ／(√(１＋ｘ)＋１)
分母は　ｘ＜＜１の時、２にほぼ等しい　とすることができます。

この近似は距離を扱う場面ではよく出てきます。
高校でも光の干渉のところで出てきているはずです。

ｘ＝０．１、　０．０１，　０．００１、０．００１、・・・
と入れて行けばイメージが取れるのではないでしょうか。