電気双極子モーメントに関する問題

質問

電気双極子モーメントpを電場E(r)の中に置いたとき、pはどのような力を受けるか。
という問題なのですが、回答に
r±dにそれぞれ位置する1対の点電荷±qによって電気双極子pが作られているとみなす。電場E(r)から±qが受ける力はF=±qE(r±d)。p=2qdだから電気双極子が受ける力は
F = q{E(r+d)-E(r-d)} = 2q(d・∇)E(r) = (p・∇)E(r)
となる。
と書いてるのですが最後の式の q{E(r+d)-E(r-d)} = 2q(d・∇)E(r)
の式変形で、なんで∇が出てきて2q(d・∇)Eとなるのかがまったくわかりません。
どなたかご教示お願いします。

回答No.2

hitokotonusi · ベストアンサー

FもEもベクトル量なので、ここではある成分のみを扱っている物とします。
つまり、本来はEx, Ey, Ezなどと書くところを、添え字を省略して単にEとしている。
また、三次元空間でしょうから、E(r)とはE(x,y,z)のこと。

すると

E(r+d)＝E(x+dx,y+dy,z+dz) ～ E(x,y,z) + (∂E/∂x)dx + (∂E/∂y)dy + (∂E/∂z)dz

ここでベクトル( (∂E/∂x) , (∂E/∂y) , (∂E/∂z) )はEのグラジエントなので∇E。またベクトルdを(dx,dy,dz)とすると

E(r+d)～E(x,y,z) + (∇E)・d

E(r-d)も同様なので、あとはわかると思います。

三次元の関数f(x,y,z)のテーラー展開で、1次の項が∇f・drになることに気がつかない人は結構多いですね。最近も似たような回答をした記憶があります。

お礼

非常に詳しい説明ありがとうございます。
おかげで疑問がとけました。
＞三次元の関数f(x,y,z)のテーラー展開で、1次の項が∇f・drになることに気がつかない人は結構多いですね
どっかでみた気がするので完全に忘れていて気が付きませんでした。お二方解答ありがとうございました

回答No.1

Tacosan

d は十分小さい (ということにしている) から.

つまりはテーラー展開.

お礼

テーラー展開を使うんですね。回答ありがとうございます