【電磁気学】電気双極子モーメントがつくる電場の問題

質問

【電磁気学】電気双極子モーメントがつくる電場の問題
どうしても分からない問題があるので質問させてください。

問題1）
直交座標系において、点電荷qが座標原点(0,0,0)に、点電荷-qが位置(0,0,-d)に固定されている。
電気双極子モーメントの大きさp=qdが一定になるようにしてq→∞，d→0とした極限を考える。
この電気双極子が位置ベクトルr=(x,y,z)につくる電場を求めなさい。
※b→0の極限で1/((1+b)^a)→1-abとなる近似を使ってよい。

問題2）
電荷密度ρ=αで電荷が一様に分布した半径Rの球状の電荷分布A（電荷分布Aの中心は座標原点O(0,0,0)）と、電荷密度ρ=-αで電荷が一様に分布した半径Rの球状の電荷分布B（電荷分布Bの中心は位置(0,0,-d)）がある。問題1と同様にp=qd（qは電荷分布Aの全電気量）が一定になるようにしてq→∞，d→0とした極限を考えたとき、

(1)位置ベクトルr(r>R)における電場は問題1で求めたものと同じになる理由を説明しなさい。
(2)位置ベクトルr(r<R)における電場を求めなさい。

以上です。よろしくお願いします。

回答No.1

cocacola2010

問題１）
極限をとる前の正確な式は
E=q/4πε・[1/(x^2+y^2+z^2)-1/{(x+d)^2+y^2+z^2}]
ここで
1/(x^2+y^2+z^2)をくくりだして、
E=q/4πε・1/(x^2+y^2+z^2)・[1-???]
ただし
???=1/[1+{(2dx+d^2)/(x^2+y^2+z^2)}]

この???の式に1/((1+b)^a)→1-abの近似、この場合は1/(1+b)=1-bを使ってまとめると
E=q(2dx+d^2)/4πε(x^2+y^2+z^2)^2

p=qd、 d^2→0を適用して結局
E=px/2πε(x^2+y^2+z^2)^2

間違ってたらごめんなさい

問題2)

(1)r(r>R)ではガウスの法則より点電荷とみなせるから
(2)r(r<R)では正味の電荷密度が０なので電場も０