電気双極子モーメントの作る電位の式。

質問

電気双極子モーメントの作る電位は

Φ(r) = pr/4πεr^3

とあるのですが、なぜrが分母と分子に両方あるのでしょうか？参考書では分子のr（とp）は太字なのですが、意味が違うのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> ところで、この式は一般的に暗記しておくものでしょうか？
> 導き方を調べたら、結構難しかったのですが…。

う～ん，困りましたね．
理工系大学１年くらいですよね．
点電荷の電位 q/4πεr は当然覚えておくべきものですが，
双極子の電位はボーダーラインかな．
丸暗記でなくて，物理的内容と結びつけると楽です．

前の回答で述べた(a)(b)を考えると，(1/4π) はともかくとして
p cosθ/εr^2 くらいは思い出せそうです．
あと

(c) 正負電荷が同じ点にあれば当然打ち消し合って電位はゼロになってしまう．
正負電荷の距離を s として，s/r の最低次(１次)まで考えたのだから
距離依存性は点電荷の電位 q/4πεr に s/r を掛けたものになるはず．
qs = p だから双極子の電位の距離依存性は p/4πεr^2 であろう．
あと，方向依存性のファクターがつくはず．

(d) 双極子の方向がｚ方向だとして，
+z と -z では電位が正負反転しているはず(絶対値は同じ)，
xy 平面上では電位はゼロのはず，
を考えると，方向依存性ファクターの cosθは非常に納得できる．

(e) (c)にも現れているが，p cosθ/4πεr^2 はちゃんと電位の次元をもっている．
たとえば，p cosθ/4πεr^3 などということはありえない(次元が合わない)．

計算の詳細はともかくとして，
どういう方針で何を計算したのか，結果で注目すべき点は何なのか，
などにいつも気を配る習慣をつけると，暗記していなくてもかなりのことは引き出せます．

こういうことはなかなか教科書には書いてありませんね．

お礼

質問が終わっても、時々見直しにきたくなるような、丁寧な回答ありがとうございます。
とりあえず暗記しておいて、使いながら理解を深めていく、という感じにしようと思います。

回答No.1

siegmund

> 参考書では分子のr（とp）は太字なのですが、意味が違うのでしょうか？

そのとおり，意味が違います．
太字はベクトルの意味です．
太字が出てきたら，ベクトルの意味であることが普通です．
ここでは太字は表現できないので，ベクトルｒを(r→)のように表すとしますと，
(p→)(r→) は内積で， pr cosθと同じことです．
θは(p→)と(r→)の間の角度(0≦θ≦π)．
したがってｒを約分して
Φ(r) = p cosθ/4πεr^2
と書いてもよいわけです．

注目すべき点は
(a) cosθがあるので方向依存性がある．
これは，もともと双極子が方向依存性を持っていることに依ります．
双極子は正負電荷のペアですが，それが例えばｚ方向に並んでいるのか，ｘ方向に並んでいるのか，
では様子が違います．
(b) 距離依存性が 1/r^2 であること．
点電荷のときは 1/r でした．
正負ペアは遠くから見ると打ち消し合いの傾向にありますから，
その分だけ距離に対して早く電位が減衰します．

お礼

回答ありがとうございます。
すっきりしました。
ところで、この式は一般的に暗記しておくものでしょうか？
導き方を調べたら、結構難しかったのですが…。