双極子モーメント

質問

双極子モーメントは＋q と -q　でｄ離れていた場合、μ=qdとなりますが、電荷が+2q,-qなどのように異なる場合はどのような計算式になりますか？

回答No.1

sakura_214 · ベストアンサー

一般に，双極子モーメントはベクトルです．「モーメント」という名前から推測できるように，電荷分布q=q(r↑)またはもっと一般的に電化密度分布ρ=ρ(r↑)の双極子モーメントの式は
μ↑＝Σr↑q(r↑)＝∫r↑ρ(r↑)dV
と書けます．例えば，

> ＋q と -q　でｄ離れていた場合、μ=qdとなりますが、

は，-qの位置ベクトルをr0↑とすると，+qの位置はr0↑+d↑なので
μ↑＝(+q)(r0↑+d↑)+(-q)(r0↑)=qd↑
となります．同様に

> 電荷が+2q,-qなどのように異なる場合

は，同様に-qの位置ベクトルをr0↑，-qから+2qへのベクトルをd↑とすると，
μ↑＝(+2q)(r0↑+d↑)+(-q)(r0↑)=qr0↑+2qd↑
となります．

２つの計算例をみて気づいたかもしれませんが，一般に全電荷が0の場合，双極子モーメントは原点の位置に依りませんが，全電荷が0でない場合は，原点の位置に依存した結果になります．（つまりr0↑が入ってくる）

回答No.3

Teleskope

（書けなかった続きを捕捉しておきます）
｛カッコ｝の式だけでは回答ではありませんよ、それはqdを導出する教科書的手順と同じことをしただけですから。
　その式から、教科書がなぜ「ダブレットとは±等量の電荷が…」と定義してるのか、そのわけを見抜いて納得することが回答になります。　ヒントはこれもまた「定石通り r>>d として」で、ひどく初歩的で当たり前な結果が導かれると思います。

回答No.2

Teleskope

1が正電荷n個で 2が負電荷1個の対（つい）だとしましょう。
　d軸の中央から角度θで距離ｒの場所でのポテンシャルは
１の方からが、
　　4πεφ1 = nq/|r-d/2|
なら、2の方からは、
　　4πεφ1 = -q/|r+d/2|

定石通り r>>d として
　　1/|r-d/2| → (1/r)・(1+(d/2r)cosθ）
　　1/|r+d/2| → (1/r)・(1-(d/2r)cosθ）

よって
　　4πε(φ1+φ2)
　　= q/r(n(1+(d/2r)cosθ）-(1-(d/2r)cosθ))
　　途中は自分で
　　= (qd・cosθ/r^2)・｛(n-1)r/(dcosθ) + (n+1)/2｝

左の(カッコ)は標準的なポテの式、右の｛カッコ｝が求めるもので、n=1なら1。
以上、大急ぎでやったので、考え自体が合ってるかも含めて、自分で検算してください。