電気磁気学で使う計算

質問

以下の電気磁気学で使ベクトルの計算問題について質問です。
１）点（２，－３，２）から点（５，２，３）に向かう方向を持つ単位ベクトルを求めよ。
という問題は、お互いの成分を引いて、（－３，－５，－１）になるのでしょうか。
２）次の２つのベクトルＡ，Ｂのなす角θを求めよ。（cosθでよい）
　A=（２，３，１），B=（－１，１，３）
は、内積公式A・B＝ABcosθを使うのですか？
３）直角座標で表された点（２，２，５）を円柱座標に変換するときのｒとΦをもとめよ。
ただし、円柱座標は、ｘ＝ｒｃｏｓΦ，ｘ＝ｒsinΦ，ｚ＝ｚで与えられたとする。
全然わかりません・・・
教えてください。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

（１）
方向は（－３，－５，－１）でよいのですが、
単位ベクトルですから、絶対値を１にしなければいけません。
（－３，－５，－１）の絶対値は√（９＋２５＋１）＝√３５
ですから、絶対値を１にするには、各成分を√３５で割ればよいです。
よって答えは
（－３／√３５、－５／√３５、－１／√３５）
になります。

（２）
A・B＝|A||B|cosθ ですね。
２×（－１）＋３×１＋１×３　＝　√（２^2＋３^2＋１^2）・√（（－１）^2＋１^2＋３^2）・cosθ

（３）
代入するだけですよ。
ｚは、そのまんまｚなので、ｚ＝５は無視してｘとｙだけ考えればよいです。
あと、ｒは負でない数です。（円柱座標や極座標の場合の決まりごとです。）
ｘ＝２＝ｒcosφ　　・・・（ａ）
ｙ＝２＝ｒsinφ　　・・・（ｂ）
ｙ／ｘ＝１＝tanφ
よって、φ＝arctan１
（ａ）でｒは負ではないので、－９０度≦φ≦９０度
（ｂ）でｒは負ではないので、０度≦φ≦１８０度
つまり、０度≦φ≦９０度
この範囲では　arctan１となるのは４５度のみ。
よって、φ＝４５度
このφの値を（ａ）か（ｂ）に代入すれば、ｒも求まります。

回答No.2

sanori

すみません。（１）に間違いがありました。

ベクトルは、終点から始点を引き算したものです。
「点（２，－３，２）から点（５，２，３）に向かう」
ですから、
（３，５，１）を規格化して
（３／√３５、５／√３５、１／√３５）
ですね。