「p→q」 と 「"pの否定"∨q」

質問

「p→q」 と 「"pの否定"∨q」

(1)「p→q」 と (2)「"pの否定"∨q」　は何故同じ意味なのでしょうか?
真理値表を書くと上記2つは等しくなることは解るのですが，
p及びqを以下の様にすると，(1)と(2)が同じ意味にならない気がして，
混乱しております．ご教授願います．

p : 2は偶数である
q : x^2≧0である

この様にp及びqを定義すると，(2)の真理値は1になると思うのですが，
(1)の真理値が1にはならない気がします．なぜなら，pという仮定から
qを導くことができないからです．

回答No.7

boiseweb · ベストアンサー

No.3です．長くなりますが，No.3補足の「あらたな疑問」について．

以下，集合といえばある定まった集合 U の部分集合とし，x などの文字は集合 U の要素を表すとします．

まず，「P(x)→Q(x)」は，真理集合を使って言い換えれば「"P(x)の真理集合"⊂"Q(x)の真理集合"」となります．
この状況を，U を全体集合とするヴェン図で書いてみましょう．すると，P(x)の真理集合がQ(x)の真理集合に包まれて，それら全体がUの内側に収まっています．
ここで，P(x), Q(x) の真理集合の「外側」すなわち補集合に注目します．すると，"Q(x)の真理集合の補集合"⊂"P(x)の真理集合の補集合" が成り立つことに気づきます．
"P(x)の真理集合の補集合" は，実は "「P(x)の否定」の真理集合" と同じです．Q(x) についても然り．だから，このヴェン図で読み取れる状況から，「『Q(x)の否定』→『P(x)の否定』」が成り立つことがわかります．
この議論から，「P(x)→Q(x)」が真ならば「『Q(x)の否定』→『P(x)の否定』」（対偶）が真であることが納得できると思います．逆もまた然りです．

ちなみに，命題論理で「p→q」と「"pの否定"∨q」が同義であるという現象に対応して，述語論理では次のことがすべて「同じこと」になります．ヴェン図を描いて確認してください．

(1) P(x)→Q(x)
(2) すべての x について「"P(x)の否定"∨Q(x)」
(3) "P(x)の真理集合"⊂"Q(x)の真理集合"
(4) "P(x)の真理集合の補集合"∪"Q(x)の真理集合" = U

お礼

大変丁寧な回答ありがとうございました．

回答No.6

alice_44

失礼、命題を見間違えた。
p から q を導けないのは、単に x を実数と仮定してないからじゃないか。
よって、(2) も真にはならない。

書き忘れただけで、実は x は実数と仮定してあるのなら、
実数論の公理系＋p という仮定から q を導くことができる。
証明するとき、p は使わないというだけのことで。

お礼

なるほど．
回答ありがとうございました．

回答No.5

alice_44

＞ なぜなら，pという仮定からqを導くことができないからです．

ここがダウト。
事実に反する仮定からは、任意の結論を導くことができる。
「蟻が十なら、芋虫ゃ二十。」

回答No.4

boiseweb

次の質問と同根のように思えます．

"1+1=2"→"13は素数である"　は真か偽か
http://okwave.jp/qa/q4144011.html

手前味噌ですが，上記質問の回答No.4（私の回答です）も参考にしてください．

回答No.3

boiseweb

次の質問と同根のように思えます．

"1+1=2"→"13は素数である"　は真か偽か
http://okwave.jp/qa/q4144011.html

手前味噌ですが，上記質問の回答No.4（私の回答です）も参考にしてください．

補足

大変失礼いたしました．
おっしゃるとおりです．
回答を改めて拝見させていただき，あらたな疑問が出てきたのですが，
p→qとその対偶の真理値はなぜ等しいのでしょうか?
命題論理の場合は真理値表を作成することにより対偶は等しいことが解り，
述語論理の場合はヴェン図の包含関係を考えることにより対偶は等しいことが解る，
ということでよろしいのでしょうか?

回答No.2

Tacosan

p→q をそう定義したから.

お礼

ご回答ありがとうございます

回答No.1

Ginzang

「論理文の真理値を考えるときには、実際の因果関係は全く考えないから」というのが回答になる。

論理文「p→q」を、日本語（自然言語）の「pならばq」または「pだからq」のことだと考えるから、混乱が起きる。

「p→q」の真偽を判断する際は、pとqの間の因果関係は全く問題にならない。言い換えると、qが真ならば、pは何だって「p→q」は真なのである。

論理学では、そう、割り切って考えるものである。
どうかご了承願いたい。

補足

p : xは4の倍数である
q : xは偶数である

とすると，pとqの間の因果関係が問題になってくるために，
p→q が真か偽か，また，真の場合にはその証明をしたりするの
では無いでしょうか?