数学の質問です。お願いします。

質問

実数aに関する条件をｐ　ｑ　ｒ　を次のように定めます。
Ｐ：a 二乗≧2a+８
ｐ：a≦－2またはa≧4
ｒ：a≧5
問題
条件ｑの否定をｑ－、条件ｒの否定をｒ－で表す。
つぎの□　□にあてはなるものを、下の(0)～(3)のうちから一つずつ選べ、ただし、同じものを何度も選んでもよい。
命題「ｐならば□」は真である。
命題「□ならばｐ」は真である。

(0)　ｑかつｒ－
(1)　ｑまたはｒ－
(2)　ｑーかつｒ－
(3)　ｑ－またはｒ－
答えが(0)になる理由を教えて下さい。
又何故(1)が駄目なのかも教えて下さい。

回答No.1

static_puts · ベストアンサー

えっと、条件がP,p,rとなっていますが
p：a^2≧2a+８
q：a≦－2またはa≧4
ｒ：a≧5
でよろしいでしょうか。

とりあえず、pはこのままだと見難いので、この不等式を解いてしまいましょう。
a^2-2a-8≧0
(a-4)(a+2)≧0
従って、a≦-2またはa≧4
となります。

すると、条件は
p：a≦-2またはa≧4
q：a≦-2またはa≧4
ｒ：a≧5
となります。

次いで選択肢について見て行きましょう。
(0):qかつrの否定ですから、a≦-2またはa≧4であり、なおかつa<5を満たす部分、という事です。
要するにa≦-2または4≦a<5というのが(0)の条件です。
(1):同じように考えますが、今度は「または」ですね。この条件は実数全体です。5未満の数はrの否定に、4以上の数はqに含まれるからです。
(2):-2<a<4かつ5<aですから、これはqの否定そのもので、-2<a<4です。
(3):(2)と同じように考えると、これはrの否定そのものでa<5です。

＜一つ目の□＞
(1)が正解です。例えば、a=6として考えると、6は条件pを満たしますが、(0),(2),(3)を満たしません。従って(1)です。

＜二つ目の□＞
(0)が正解です。
他の選択肢については、例えば1を考えると、これは条件pを満たしません。

不等式の満たす範囲を数直線で表すとわかりやすいです。一応下に書いてみます(上手く見えればいいのですが)

＋は条件を満たす部分、－は条件を満たさない部分とします。また、縦棒(|)やスラッシュ(/)は整数を表すものとし、左から-2,-1,0,1,2,3,4,5とします。整数に縦棒を使っている場合、その整数は集合に含まれないことを、スラッシュを使っている場合、その整数が集合に含まれることを示します。

-2 -1 0 1 2 3 4 5
p :++++/----|----|----|----|----|----/++++/++++
q :++++/----|----|----|----|----|----/++++/++++
r :----|----|----|----|----|----|----|----/++++
(0):++++/----|----|----|----|----|----/++++|----
(1):++++/++++/++++/++++/++++/++++/++++/++++/++++
(2):----|++++/++++/++++/++++/++++/++++|----|----
(3):++++/++++/++++/++++/++++/++++/++++/++++|----

綺麗に見えていなければ、適当なエディタ(メモ帳でいけるかな)に貼り付けて、等幅フォントで見てみてください。一目瞭然だと思います。

お礼

本当に有難うございました。分かりやすく助かりました。