混合戦略のナッシュ均衡について

質問

次のような問題です。

プレイヤー1は確率pでUを、確率1-pでDを選択する。
同様に、プレイヤー2は確率qでLを、確率1-qでRを選択する。
(プレイヤー1の利得、プレイヤー2の利得)は
UかつL→(1,1)
UかつR→(1,0)
DかつL→(0,1)
DかつR→(-1,-1)である。
このとき、混合戦略でのナッシュ均衡(p*,q*)を求めよ。

プレイヤー1の反応関数を求めるとR1(q)=(2-p)q+1-pとなって、最適なp*が1を超えてしまい、詰まってしまいました。
どのように解けばいいのでしょうか…回答よろしくお願いします。

回答No.3

statecollege · ベストアンサー

質問しても返答がないね！
ハッキリいいましょう。あなたの
＞プレイヤー1の反応関数を求めるとR1(q)=(2-p)q+1-pとなって・・
というのは間違い。プレイヤー１の反応関数は
R1(q) = 1　　∀ｑε[0,1]
プレイヤー2の反応関数も同様に
R2(p) = 1　　∀ｐε[0,1]
となる。

お礼

回答ありがとうございます。何度もお答えしていただいたのに返答が遅くなってしまい申し訳有りません。ネットを見れない状態が続いておりました…
そもそもにして支配戦略である、というところを見落としておりまして、単純に期待利得を計算し、微分した解=0である、という解き方を行なっていたようです。回答を見て納得しましたし、それを踏まえて自分でも計算を行い(1,1)を導出できました。

度重なる呼びかけにも答えられず本当に申し訳ありませんでした。そして、丁寧に教えていただきありがとうございました。

回答No.2

statecollege

回答No1にまだ納得できませんか？あなたの、プレイヤー１の反応関数はどうやって導かれたのか、示してくれませんか。正しく導かれたかどうか見てみますから。

回答No.1

statecollege

利得マトリックスを書いてみて、チェックしてください。このゲームには両プレイヤーに支配戦略があり、プレイヤー１の支配戦略はU,プレイヤー２の支配戦略はLです。したがって唯一のナッシュ均衡は互いが支配戦略をとる（U,L)です。プレイヤー１にとっては、相手が戦略をどんなにランダマイズしても、Uをとるのが最適であり、同様にプレイヤー２にとってはLをとるのが最適だからです。したがって、混合戦略の記号を使って書くと、(p,q)=(1,1)
が唯一のナッシュ均衡です。
フォーマルに議論するなら、プレイヤー２がLを確率ｑで、Rを確率1-qでとるとき、プレイヤー１が戦略Uをとれば、期待利得はq + (1-q) =1であり、戦略Dをとれば、期待利得は-(1-q) = q - 1である。よって、プレイヤー１がUを確率pで、Dを確率1-pで混合戦略をとったときの期待利得は
EΠ1(p,q)＝p + (1-p)(q-1) だ。よって、期待利得をｐで微分すると、
∂EΠ1/∂p = 2 -q＞０となり、期待利得はpの増加関数、つまり、pを大きくすればするほど、プレイヤー１の期待利得は大きくなる。つまり、p=1のとき、プレイヤー１の期待利得EΠ１は最大になる。対称性によりプレイヤー2もq=1のとき、プレイヤー2の期待利得EΠ2は最大になる。つまり、(p,q)=(1,1)が一意のナッシュ均衡。