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質問

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=ルート10、BC=2ルート10、CD=3、DA=6であるとし、対角線ACとBDの交点をEとする

cos角BCDは?
BDは?
BEは何BD?

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回答No.4

mnakauye · ベストアンサー

なかなか計算が大変な問題ですね。

まずCos∠BCDですが、これは三角形ABDと三角形BCDの両方で、
余弦定理を使って、BDの平方を表すと

　BCの平方＝ABの平方＋ADの平方ー２ｘACｘADｘCos∠BAC
　　　　　＝１０＋３６－１２ルート１０ｘCos∠BAC
　　　　　＝４６－１２ルート１０ｘCos∠BAC・・・(1)

　　BDの平方＝BCの平方＋CDの平方ー２ｘBCｘCDｘCos∠BCD
　　　　　＝４０＋９－１２ルート１０ｘCos∠BCD
　　　　　＝４９－１２ルート１０ｘCos∠BCD・・・(2)

　ここで、∠BAC＝１８０度ー∠BCDなので、
　　　　Cos∠BAC＝ーCos∠BCDですから、・・・(3)

　上の二つの式(1)と(2)から、
　　　　　４６－１２ルート１０ｘCos∠BAC＝４９－１２ルート１０ｘCos∠BCD
　(3)を代入っして
　　　　　４６＋１２ルート１０ｘCos∠BCD＝４９－１２ルート１０ｘCos∠BCD

　　　これを解いて、Cos∠BCD＝１/（８ルート１０）＝（ルート１０）/８０

　　　(1)に代入して、BDの平方＝95/2　BD＝（ルート１９０）／２

　これで最初の二つは解けました。

　ココからがちょっとした計算量です。（もっといい方法があるかも知れません）

　上と同じような方法で、Cos∠ABCと、ACの長さを出します。

（ACはトレミーの定理を使って出すこともできます。後述）

三角形ABCと三角形DBCの両方でACの平方を考えてやります。

　結果のみ書きます。

　Cos∠ABC＝５/７６、　AC＝３０/（ルート１９）・・・(4)

　ここから相似形を使います。

　三角形ABEと三角形DCEは、
　　　∠ABD＝∠ACD（円周角）および
　　　∠BEA＝∠CED（対頂角）
　から相似、
　　　だから、　BE:CE=AE:ED=AB:CD＝ルート１０：３

　　このことから、CE＝（３/ルート１０）ｘBE・・・(5)
　　　　　　　　　AE＝（ルート１０/３）ｘDE・・・(6)

　　ここで、BEはBDのｋ倍とおくと、DE＝BDーBE＝（１－ｋ）倍のBD・・・(7)

　　　AC＝AE＋CE
　　　(5)と(6)を使って、
　　　＝（３/ルート１０）ｘBE＋（ルート１０/３）ｘDE

　　　＝（３/ルート１０）ｘｋｘBD＋（ルート１０/３）ｘ（１－ｋ）ｘBD

　以上から
　　　AC＝｛（３/ルート１０）ｘｋ＋（ルート１０/３）ｘ（１－ｋ）｝ｘBD

　　　ここに、AC、BDのながさを代入すれば、ｋの一次式になって、

　　　３０／ルート１９＝｛（（３/ルート１０）ー（ルート１０/３））ｋ＋（ルート１０/３）｝ｘ（ルート１９０）/２

　　　これを解くと　ｋ＝１０/１９

　　つまり、BEはBDの１０/１９倍ということになります。

以上ですが、トレミーの定理は次のようなものです。

円に内接する四角形ABCDにおいて、
AB・CD＋AD・BC＝AC・BD

　これを使うとACは簡単に出ます。

回答No.3

longsu

円に内接する四角形では、対角の和がπになる（弧に対する円周角と残りの弧に対する円周角の関係）ので、対角のcosの和は0になる。

DB=x

とでもおいて余弦定理に持ち込もう。これで

cos角BCDは?
BDは?

解決できるのでは・・

回答No.2

longsu

#1です。
計算ミスがみつかり、とりあえず撤回します。
ごめん

回答No.1

longsu

少々パワーがいるが、適当な座標を設定して、各ポイントの座標を抑えてやるとというのが手堅いところではないかな。
私も頭が固いんでなんか楽な方法はと考えてみたが思い浮かばなんだ。
座標の一例だが、原点を円の中心にして、半径をｒ、たとえば点Ａをｘ軸上にとる。点Ｂを未知数にして中心からの距離、点Ａからの距離、ＡＢの垂直二等分線が中心を通るなどの条件を入れてやるとｒが解けてくるはずだ。
各点が抑えられたら、

cos角BCDは?
△ＢＣＤについて、正弦定理でも余弦定理でも使って・・

BDは?
二点間の距離は座標が分かっていれば楽勝

BEは何BD?
点Ｅの座標は直線ＣＡ，ＤＢの交点として求めることができる。