正規直交基底の存在性

質問

計量ベクトル空間の正規直交基底の存在性についてです．

証明の手順は以下のようにやろうと考えています．

計量ベクトル空間V，dimV=n
⇒線形独立な集合Aが存在する(1)
⇒Vの基底E:={ei}(i=1,2,...n)が存在する(2)
（Aにいくつかベクトルを足すことで構成する）
⇒Vに正規直交系E':={ei'}}(i=1,2,...n)が存在する(3)
（Eにシュミットの直交化法を施す）
⇒E'はVの基底である(4)
⇒E'はVの正規直交基底である(5)

(1)⇒(2)⇒(3)は示せるのですが，
(3)⇒(4)が示せません．
どなたか，アドバイスなどよろしくお願いいたします．

回答No.5

33550336

ｎ次元のベクトル空間のｎ個の一次独立な元は基底になります。
実際、{v_i;i=1...n}が一次独立であるとすると、
dim<v_1,...,v_n>＝ｎ＝dimV
で、
<v_1,...,v_n>⊂Ｖ
よってこの包含関係は＝となる。（次元の等しいベクトル空間の間に片方の包含関係が成立すれば等しくなる。）
E'が一次独立となることがわかっているのであればこれで基底になることもわかります。

お礼

過去のノートを見ていたら，
部分ベクトル空間について下の定理を証明していました．

V:K上のベクトル空間
W1,W2:Vの部分ベクトル空間
W1⊂W2,dimW1=dimW2⇒W1=W2

ここでVもVの部分ベクトル空間ということから，
（次元の等しいベクトル空間の間に片方の包含関係が成立すれば等しくなる。）
も示せることがわかりました．

丁寧なご指摘，ありがとうございました．

補足

ありがとうございます。

実際、{v_i;i=1...n}が一次独立であるとすると、
dim<v_1,...,v_n>＝ｎ＝dimV
で、
<v_1,...,v_n>⊂Ｖ
ーーーーーーーーーーーー
ここまでは納得できます。

（次元の等しいベクトル空間の間に片方の包含関係が成立すれば等しくなる。）
ーーーーーーーーーーーー
ここがわかってないところみたいです。
考えてみます。

回答No.4

koko_u_u

補足してもらった内容がよくわかりません。

>次元の定義よりVの任意の基底Xに対して#X=nとなる．

次元を定義するときに、基底 X の要素数が、どんな基底をとろうとも一致していることは既知としているのですか？

それなら悩むことは何もないと思うのですけど。

補足

＞次元を定義するときに、基底 X の要素数が、どんな基底をとろうとも一致していることは既知としているのですか？

これは既知としていますし，
これの証明は理解しています．

＞それなら悩むことは何もないと思うのですけど。
悩み所としては，，，
V:複素ベクトル空間，dimV=nとする．
線形独立な{xi}(i=1...n)⊂Vが基底であることを示すには，
(3)∀a∈V,∃ci∈複素数体 st a=Σcixi
を示す必要があると考えています．

回答No.3

koko_u_u

>どう示せばいいのかわかりません．

dimV の定義を思い出して補足にどうぞ

補足

Co------
V:(実or複素)ベクトル空間
dimV=n
{xi}(i=1,2...n)⊂Vが線形独立
⇒{xi}はVの基底

proof------

def-次元
V:複素ベクトル空間
X:Vの任意の基底
dimV:=#XをVの次元と呼ぶ

次元の定義よりVの任意の基底Xに対して#X=nとなる．
ここで，{xi}(i=1,2...n)⊂Vが
(1)#{xi}=n
(2){xi}が線形独立
(3)∀a∈V,∃ci∈複素数体 st a=Σcixi
を満たすとき，{xi}はVの基底となる．

(1),(2)は仮定より満たす．よって(3)を示せばよい．
-------

(3)を示すアイデアがわきません．
対偶，帰納法は使えそうにないですし，
仮定法がいいような気がしますが，，，

a≠Σcixiと仮定すると，
aも線形独立？
{xi}∪{a}も線形独立？
dimV=nのときR⊂V st #R>nは線形従属であることに反する
(これは理解しています)
よってa=Σcixi

という流れを考えています

回答No.2

33550336

定義通りE'が一次独立であることを示せば、元がｎ個あることから基底であることが従います。
それかＶがE'で生成されることも定義通り証明できるのでやってみて下さい。

お礼

コメントありがとうございます．

E'が基底であるためには
(1)E'が線形独立
(2)Vの任意のベクトルをE'の線形結合で表せる

(1)はE'が互いに直交していることから示せましたが，
(2)が示せません．

＞それかＶがE'で生成されることも定義通り証明できるのでやってみて下さい。
考えてみます．

補足

E'が正規直交系
⇒(a)E'が線形独立
　(b)V=<E'>
⇔E'は基底
ただし，<E'>はE'の線形結合全体

という流れを考えているのですが，
(a)はE'が互いに直交しているのでE'は線形独立
(b)について，V⊃<E'>かつV⊂<E'>ならば，V=<E'>
ベクトル空間の定義よりV⊃<E'>
V⊂<E'>は？です

回答No.1

koko_u_u

次元が n なんでしょ？明らかでは？

お礼

コメントありがとうございます．

V:(実or複素)ベクトル空間
dimV=n
{xi}(i=1,2...n)⊂Vが線形独立
⇒{xi}はVの基底

ということだと思うのですが，
どう示せばいいのかわかりません．