円筒座標系と球座標系の単位ベクトルに関して

質問

直角座標系以外の円筒座標系と球座標系の位置ベクトルに関して質問があります。
まずは、円筒座標系から。
「円筒座標系で、原点とP(r,φ,z)との間のベクトルを求めよ」

直角座標系の場合だと、x,y,zのそれぞれの方向の単位ベクトルとそれぞれの方向の成分を
掛け合わせることで、ベクトルを表現できると思います。

しかし、円筒座標系の場合はどうなのでしょうか？

単純にx,y,zと同じようにr,φ,zについての単位ベクトルをa,b,c（例として）とし、成分を掛け合わせ
OP=r*a+φ*b+z*c となるのでしょうか？

しかし、これではおかしいと感じます。というのも、
とくにφはいったいどういう向きの単位ベクトルなんでしょうか？
円方向の単位ベクトルってことになるんでしょうかね？

そうでなければ、座標変換して
x=r*cosφ
y=r*sinφ
z=Z
として、直交座標の場合と同じようにやるのでしょうか？

球座標系に関しても同じ質問です。

回答No.9

muturajcp · ベストアンサー

OP=r*(1,φ,0)+z*(0,0,1)
となります
ただし、(1,φ,0)_{円筒座標系}=(cosφ,sinφ,0)_{直交座標系}

(r,φ,z)_{円筒座標系}　の近傍での局所座標系の
r 方向の単位ベクトル e_r は
e_r=(1,φ,0)_{円筒座標系}=(cosφ,sinφ,0)_{直交座標系}
φ 方向の単位ベクトル e_φ は
e_φ=(1,φ+π/2,0)_{円筒座標系}=(-sinφ,cosφ,0)_{直交座標系}
z 方向の単位ベクトル e_z は
e_z=(0,0,1)

回答No.8

eatern27

例えば２次元平面での極座標を考えましょうか。

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Transformation2polar_basis_vectors2.svg

にある図の原点がＯ、各ベクトルの始点がＰです。
ベクトルＯＰをe_r,e_φの線形結合で表すとどうなるのですか？
直線ＯＰとe_rが平行なのは分かりますか？

回答No.7

eatern27

>とのことですが、やはり直交座標に置き換えて
>x,y,z軸方向の単位ベクトルで示すのでしょうか？
別にそうしてはいけない理由はありませんが、デカルト座標系の基底を使うのなら「円筒座標系で考えている」事にならないのでは。
補足等を拝見する限り、参考書の問題か何かを解いているようですが、その問題の趣旨は、(デカルト座標系の単位ベクトル(基底)ではなく)円筒座標系の単位ベクトル(基底)の線形結合でベクトルＯＰを表しなさい、という事ですね。

>OP = (r*cosφ)a_x＋(r*sinφ)a_y＋z*a_z
>「a_xはx軸方向の単位ベクトル」
>「a_yはy軸方向の単位ベクトル」
>「a_zはz軸方向の単位ベクトル」としています。
>ということでしょうか？
式自体は正しいですが、円筒座標系で考えるのなら、x,y,z方向の単位ベクトルは忘れてr,φ,z方向の単位ベクトルを考えましょう。

補足

＞筒座標系で考えるのなら、x,y,z方向の単位ベクトルは忘れてr,φ,z方向の単位ベクトルを考えましょう

しかし、r,φ,z方向の単位ベクトルをそれぞれ
a_r,a_φ,a_zとした場合、
OP = r*a_r + φ *a_φ + z*a_zにするのかなと考えましたが
それは違うんですよね？
私はこれかなーと思っていたのですが・・・

線形結合っていうのはOP = (r*cosφ)a_x＋(r*sinφ)a_y＋z*a_z
みたいな式ってことですよね・・・・？

すみません。よくわからなくて・・・・

回答No.6

eatern27

一般論(と言っても斜交座標系とかは考えてないようですが)としては、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/20vectr/050vct.html
にある通り。

http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/cgi-bin/pukiwiki/index.php?%CE%CC%BB%D2%CE%CF%B3%D82006%C7%AF%C5%D9%C2%E811%B2%F3
http://www.engin.brown.edu/courses/en3/Notes/Vector_Web2/Vectors6a/Vectors6a.htm
http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html
の辺りの図も参考になるかと。

>単純にx,y,zと同じようにr,φ,zについての単位ベクトルをa,b,c（例として）とし、成分を掛け合わせ
>OP=r*a+φ*b+z*c となるのでしょうか？
No.

>とくにφはいったいどういう向きの単位ベクトルなんでしょうか？
>円方向の単位ベクトルってことになるんでしょうかね？
上のURLを参照。

>点の位置が変わると単位ベクトルも変化するってことですか？
Yes.

>(_は左下につける小文字のことですよね？)
下付き文字は"_"を使って表すのが多いですね。
※「小さく書く文字」という意味で「小文字」と書いたのでしょうが、普通「小文字」と言えばabc・・・zを指すのでは。

補足

ありがとうございます。

＞ >単純にx,y,zと同じようにr,φ,zについての単位ベクトルをa,b,c（例として）とし、成分を掛け合わせ
＞>OP=r*a+φ*b+z*c となるのでしょうか？
＞No.
とのことですが、やはり直交座標に置き換えて
x,y,z軸方向の単位ベクトルで示すのでしょうか？
x=r*cosφ
y=r*sinφ
z=z
であるので、

OP = (r*cosφ)a_x＋(r*sinφ)a_y＋z*a_z
「a_xはx軸方向の単位ベクトル」
「a_yはy軸方向の単位ベクトル」
「a_zはz軸方向の単位ベクトル」としています。
ということでしょうか？

回答No.5

muturajcp

OP=r*cosφ*(1,0,0)+r*sinφ*(1,π/2,0)+z*(0,0,1)
となります。
ただし、+ と　スカラー倍の定義が通常とは異なります。
(r_1,φ_1,z_1)+(r_2,φ_2,z_1)=(r_3,φ_3,z_3)
(r_3)^2=(r_1)^2+(r_2)^2+2r_1r_2cos(φ_1-φ_2)
cosφ_3=(r_1cosφ_1+r_2cosφ_2)/r_3
sinφ_3=(r_1sinφ_1+r_2sinφ_2)/r_3
z_3=z_1+z_2
となるように　r_3,φ_3,z_3　を決めて　+ を定義します。

s を実数とし
s≧0のとき s(r,φ,z)=(sr,φ,sz)
s<0のとき　s(r,φ,z)=(|s|r,φ+π,sz)
とスカラー倍を定義します。
単位ベクトルは
a=(1,0,0)
b=(1,π/2,0)
c=(0,0,1)

補足

＋を定義ってなんでしょうか？
加法のことでしょうか？

OP=r*cosφ*(1,0,0)+r*sinφ*(1,π/2,0)+z*(0,0,1)ということは
やはり直交座標に変換した上での表記なんですね。。

そこで気になったのですが、この問題が載っている演習所の最初に

「円筒座標系(r,φ,z)」とかいてあるしたには
「A = A_r*a_r + A_φ*a_φ + A_z*a_z」
(_は左下につける小文字のことですよね？)
（Aは太文字なので、ベクトルです）（A_rやA_φ、A_zは成分だと思います）
とかいてあります。
a_rやa_φなどが単位ベクトルだと思ったのですが・・・

それとも、
a_rというのはa=(1,0,0)のことでしょうか？

回答No.4

alice_44

円柱座標 (r1,φ1,z1) で表される位置ベクトルと
(r2,φ2,z2) で表される位置ベクトルの和が、
(r1+r2,φ1+φ2,z1+z2) になるかどうか
を尋ねたのです。
ベクトルであれば、そうなるはずです。
線型とは、そういうこと。

補足

そういう形になることが線型なんですか。わかりました。

しかし、それとOP=r*a+φ*b+z*cこの単位ベクトルがどう関係するんでしょうか・・・・
OP=r*a+φ*b+z*cではないってことですか？

すみません。いまいちよく理解できません。。

円筒座標系は線型じゃないんですよね？
ということはやはり直交座標に変換して、
そこから単位ベクトルを使ってあらわすべきですか？

回答No.3

alice_44

＞ それとも、
＞ OP=r*a+φ*b+z*cなのか・・・
＞（a,b,cを単位ベクトルとしてます）

単位ベクトルかどうか以前に、その a,b,c が本当に
ベクトルなのかどうか、再考のこと。

補足

どういう意味でしょうか・・・
まったくわかりません・・・・

点の位置が変わると単位ベクトルも変化するってことですか？

回答No.2

alice_44

「距離ベクトル」って何ぞ？ 私は、そんな言葉知らないな。
原点と点Pとの間のベクトルなら、↑OP にきまってる。工夫の余地無し。

それを、直交座標の成分で表すならば、↑OP = (r cosφ, r sinφ, z)。
これは、ベクトルが (r cosφ, r sinφ, z) なんじゃなくて、
ベクトルの直交座標表示が (r cosφ, r sinφ, z) だということ。
ベクトルは、あくまで ↑OP。
そこんとこの区別というか、ケジメは必要かと。

補足

距離ベクトルって問題にはあるんですが・・・

ではこの↑ＯＰはどのように表現できますか？
単位ベクトルで表現するんだと思うのですが・・・

その単位ベクトルで表現するときに、直交座標にするのか？
が、わからないんです。

それとも、
OP=r*a+φ*b+z*cなのか・・・（a,b,cを単位ベクトルとしてます）

回答No.1

alice_44

単位ベクトルと成分表現は、
空間の元を線型に表示するための道具。
円柱座標や球面座標は、線型じゃないよ。

補足

知識がないのでよくわからないです・・・
線形ってなんでしょうか？

そして、
「円筒座標系で、原点とP(r,φ,z)との間の距離ベクトルを求めよ」
この問題の場合は直交座標系に変換してから

OP=r*a+φ*b+z*cのような形にすればよいのでしょうか？