家庭教師をしていて困ったんですが・・・

質問

現在我々（大学生）にとって常識な問題を教えるのって難しいですよね?例えば足し算とか・・・
んで、また壁にぶつかりました。2次関数をまったく知らない人（1次関数しか知らない。）に2次関数は解が2つある可能性があることを教えるのに困りました。
中学生なので、解の公式もルートも知りません。もちろん因数分解も。
グラフを書けばわかるかなっと思ったけど、グラフは書けません。1点ずつ書いてつなげれば良いが、厳密じゃないし。
とりあえず解が２つあると仮定して・・・解の公式とか因数分解を使わないやり方でうまく教えたんだが・・・。
誰か、一般的にN次関数なら解が最高N個まであるって中学生にでもわかる説明のしかたありますk?

回答No.4

shinchan_k · ベストアンサー

>グラフを書けばわかるかなっと思ったけど、
>グラフは書けません。1点ずつ書いてつなげ
>れば良いが、厳密じゃないし。

初めて出てきた関数のグラフを書くには１点ずつ計算してその点をつなげて書くしかないと思います。確かに厳密じゃないけれども、最初はそれで十分だと思います。
それで、2次関数のグラフがイメージできたら、ある特定のyの値に対してxの値が２つあることをグラフ上で説明してあげればいいんじゃないでしょうか。
まあ、これも関数というものをある程度理解していないと
難しい考え方になるかもしれませんが・・・
頑張ってください。

お礼

＞ある特定のyの値に対してxの値が２つあることをグ＞ラフ上で説明してあげればいいんじゃないでしょう＞か。
goodです。わかりやすいかも・・・
ありがとうございます。

回答No.9

kony0

＞一般的に1元N次方程式なら解が最高N個まであるって中学生にでもわかる説明

なぜこれを解の公式も知らない中学生に対して教えたいのですか？

私が思うに、２次方程式をはじめて扱う中学生には、「２次方程式の解は１つとは限らないんだよ。・・・だから、当てはめでなんとか（１つ）解を見つけたとしてもそれじゃ不十分だ」ということを伝えるほうがよっぽど重要と思っています。

特に難しい算数を勉強した子ほど、１次方程式習ったときって、しばらくすると「あてはめ」で解を求めようとする傾向があるんですよね。教師はそんなこと一切教えないのに。

で、その作戦を秘めた子供が、２次方程式でも「あてはめ」で１つの解を探り出して解き終わったことにする・・・というのが最悪シナリオと思っています。それはなんとしても討ち取らないと。

なので、x^2-6x+8=0の解を、{1,2,3,4,5,6}の中からすべて選べ、という問題を解かせて、必然的に解が２つあることを発見させるのがまず先決。

次に、「２次方程式では、最高２つの解があるんだ、でも場合によっては１つだったり１つもなかったりすることもある！」ということを、ある意味“頭ごなし”に伝えます。（これすら、まじめに話しをするのって、「解の公式」を教えてからでしょう）

さらに、いまは「{1,2,3,4,5,6}の中から探せ」だから解けるけど、２つの解が見つかるまで、延々代入し続けるの？２つの解があるのかないのかもわからないのに・・・

⇒「２次方程式は“あてはめ”で解を過不足無く拾い上げるのには限界がある」ことを認識させたうえ、「ちゃんとした解き方があるから、それをマスターしましょう！」と言って、因数分解を用いる方法やら解の公式やらの説明に入ります。

＞一般的に1元N次方程式なら解が最高N個まである
ことの説明は、「因数分解による方法」「解の公式」をマスターした生徒に対して、感覚的に伝える程度で十分では？（たとえば４つの解を持とうとすると、(x-○)(x-○)(x-○)(x-○)=0とならないといけないんで、4次は必要よね？と言うかどうかですかね・・・）

まさか「代数学の基本定理」なんか持ち出すわけではないでしょう？！

参考URL：

http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/taiwa2/jissuron/node1.html

お礼

回答ありがとうございます。
解の公式、因数分解は単なる計算を楽にするための道具（公式）に過ぎない。
私はなるべく公式を使わず勉強を教えています。それで、ちゃんと理解したら「こんな便利なものがあるんだぞ!!」見たいな感じで、公式を教えることもある。じゃないと難しい問題にぶつかったとき「時間かかってもいいから、なんとか解いてやる！！」という力が身に付かないと思うので。
だから、2次関数もちゃんと理解して解いてもらいたいと思って・・・

正直、解の公式なんかあるから、2次関数を難しくさせてると思う。あんなの使わなくてもどんな2次関数でも解けるのに・・・

回答No.8

noname#24477

まず＃７の人の説明を言い直すと（くどいけど）

解を求めるのは方程式
関数に解は有りません。
関数と方程式は深い関係があるので混同して使いますが・・

次に２次方程式を教えるのは
x^2＝４　などから教えるか、因数分解から。

x^2＝４　なら解が２つあるのはまだ理解できると思うし
(X-2)(X-4)=0　でも解が２つあることは説明できると思う。

もちろんこれで一般論が説明できたわけではありません。

X^2+5X+6=0
のxを求めなさいって問題が出たら・・・。

因数分解を教えないのなら
ｘに順番に数値を代入していくでしょうね。

お礼

ありがとうございます。
簡単な例を挙げて説明するやり方は一応しました。でも、なんで解が３つ、４つないのかを説明できなかったので駄目でした。
数値を一個ずつ代入しないでも、違うアプローチで何とか説明できました（長くなるので書きませんが）。

回答No.7

pupipupi

>2次関数は解が2つある可能性があることを教えるのに困りました。

　まず、関数で使う文字は、「変数」で一定の数ではありません。
それに対して、方程式で使う文字は、「未知数」で限られた数です。つまり2次関数には「解」はありません。
　さて、中学校で習う2次関数は、y=ax^2に限られているので、グラフをかいてもy=ax^2(ax^2=0,y=0の2元2次連立方程式のグラフのことでしょうか)の「解」は「重解」つまり一つしかありません。2つある可能性は見えません。
　この生徒が、ルートも因数分解も知らない生徒なら、2年生でしょうか。既習事項が少なすぎて、難しいでしょう。大まかでいいから、４次か、5次くらいまでのグラフとｙ＝0のグラフの「交点＝解」があるなぁ。ぐらいを見せて、後は将来習ってからのお楽しみ。にしてはどうでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。
関数→方程式と修正させてください。
習わないからやらないってのはおかしいです。
習った範囲で理解できるならやるべきです。
その子は解が２つあるかもしれないと仮定させて、その後因数分解、解の公式を使わずに無理矢理求める方法を教えたら理解してくれました。だから、後は解が２つあるかもしれないことを理解できれば言い訳です。
それで、将来、因数分解、解の公式を習った時、なんて便利な公式だ!!とか思ってくれれば、良い勉強になりません?

回答No.6

tttt23

> 結局、なんでｘの解が2通り存在するかの説明は？

問題が不十分 (これだけでは解が特定できない )

からです。

お礼

＞本当はこれでは問題が不十分で、これだけでは x の＞値がいくつなのかは分からないのです。ただ x が -＞2 か -3 のどちらかであることだけは言えるという＞のが正しい言い方です。

って書いてましたね。ごめんなさい。
でも、意味が良くわかりません。わかったとしても・・・マニアックすぎません??
ようはｘが２かー３のどちらかであるってことが説明できないと・・・

回答No.5

neKo_deux

地面から上向き２ｍの高さにボールを投げます。
ボールが１ｍの高さでバットを振れば当たりますが、それは何秒後でしょう？

で、行きと帰りの２つの解があります。ってのはどうでしょう？
身近な事象に置き換えると、放物運動しか思いつかないです。Ｎ次ともなると…？

お礼

ありがとうございます。
でも、グラフがわからないから放物運動の奇跡を描くことがわからないと思います。

回答No.3

tttt23

大抵の数学の教科書には「2次関数は解が2つある」と書いてありますけど、本当はこれは変な日本語ですよね。

2 次関数の解を求めるということは、例えば

x の値は分からないけど、X^2 + 5X + 6 が 0 であることは分かっている。それでは x はいくつでしょう？ということです。

本当はこれでは問題が不十分で、これだけでは x の値がいくつなのかは分からないのです。ただ x が -2 か -3 のどちらかであることだけは言えるというのが正しい言い方です。数学の世界ではこれを「解が二つある」という変な日本語で言っているだけなのです。

お礼

回答ありがとうございます。
結局、なんでｘの解が2通り存在するかの説明は？

回答No.2

noname#33973

因数分解を先に教えるのが順序というものでしょう。

お礼

下の人のお礼にも書いたのですが。少し言い方を変えますね。
もし、因数分解も2次関数も知らない人に、例えば
X^2+5X+6=0
のxを求めなさいって問題が出たら・・・。
って考えて。どうとこうか?って話。2次関数という学問ができる前はこうゆう事を考えていたわけだよね?多分。時間の無駄に思われるが、私はこうゆう勉強が一番身に付くと信じています。

回答No.1

daizunorei

教科書を見れば書いてありますので、そのとおり教えてあげればよいのではないでしょうか。

お礼

そうなの？なんか、これは難問で習ってないけどどう考えて解くかって感じの問題だったから。2次関数を習ってない人の頭の回路になってどうアプローチしていくかを教えたいわけなんです。
今度教科書見てみます。