１／２□（□＋１）をこどもに解かせたい

質問

中学受験の等差数列の問題を解かせたいと思っています。

等差数列の公式　→　１／２ｎ（ｎ＋１）
です。

ｎは使えないので□として□を求めさせたいと思います。
１３６＝１／２□（□＋１）

こたえ、□＝１６です。因数分解して解けます。でも、因数分解はこどもには使えません。

しらみつぶしを考えましたが、どうもスッキリしません。もうちょっとわかりやすい方法で□を解くのは無理でしょうか？

回答No.3

maris_stella · ベストアンサー

この問題は、因数分解で解こうとしても、二つの数の積が分かっているだけで、何と何をかければ、こういう数になるのか、大体の見当を付けて実際に計算して合うことを確認して、それで因数分解するということになります。

この二つの数字を、公式で解こうとすると、二次方程式の根の公式が必要です。

つまり、因数分解の形：

x^2＋x－272

という式を、二つの因数に分解するとき、ｘの値が分かっていて始めて因数分解が可能になります。

従って、こういう問題だと、因数分解を教えても、解けません。

１３６＝(１／２)＊□＊（□＋１）

ですから、２７２＝□＊（□＋１）

というところまでは、説明すると納得が行くでしょう。

□に１０を入れてみると、１０＊１１＝１１０となり、２７２には足りません。
だから、□は、１０よりもっと大きな数だということになります。

考えられる組み合わせは、

１１＊１２
１２＊１３
１３＊１４
１４＊１５
１５＊１６
１６＊１７
１７＊１８
１８＊１９
１９＊２０

などです。
しかし、これらを、いちいち計算する必要はないのです。

かけると、２７２になるのですから、一の位は、２が出てこないとなりません。
上のかけ算で、一の位の数同士を掛け合わせると、この２が出てこないとならないのです。

何故そうなのか、というのは、例えば、１７＊１８なら、（１０＋７）＊（１０＋８）のことなので、１００＋７０＋８０＋７＊８になるということで、結局、一の位の数字は、７＊８の計算結果の一の位の数字になるのだということで理解してもらうしかないでしょう。

そこで、上のサンプルでは：

１１＊１２　　１＊２＝　２
１２＊１３　　２＊３＝　６
１３＊１４　　３＊４＝１２
１４＊１５　　４＊５＝２０
１５＊１６　　５＊６＝３０
１６＊１７　　６＊７＝４２
１７＊１８　　７＊８＝５６
１８＊１９　　８＊９＝７２
１９＊２０　　９＊０＝　０

一の位が２７２の２になるのは、１１＊１２，１３＊１４，１６＊１７，１８＊１９であることが分かります。

これを計算すると、１６＊１７が２７２になるということが計算で出てきます。
この場合、三つのかけ算を行うと、答えが出てきます。

因数分解というのは、大体の数を見積もって、検算して合うものを因数にします。

従って、かけ算に慣れていれば、１１＊１２では、２７２などにならないというのは、或る程度自明です。

すると、１３＊１４か１６＊１７かという風になり、１３＊１４だと、２７２に足らず、１６＊１７で２７２になるので、□は１６だったと分かります。

因数分解をするときは、それらしい数を見当を付けて、頭のなかでかけ算し、足し算、引き算を行って、因数分解で式になっていることが確認できれば、これを因数にします。

この頭のなかで、見当を付けたり大まかにかけ算したりす作業は、計算に慣れてこないとできないのです。

上の総当たりではなく、一の位の数字が２になるケースを選び出すというのは、因数分解の際、頭のなかで見当を付けて計算して行う作業です。

それは困難なので、開いてみて、どれが有望かそうでないかを絞って、候補について計算して、かけ算結果が、２７２になるもの見出すと、答えが出てくるというものです。

一の位が２になる組み合わせが候補だというのは整数論の初歩的定理とも言えるのです。

従って、掛けてどういう数になるかの見当を付ける技術にもなっています。

以上、説明すると長いですが、実際の作業は数字の大きさの見当を付けるということと、候補を残すという方法で、幾つかの候補について、計算して確認するという手順になります。

因数分解は、こういう手順を、頭のなかで行っているのです。
以上の作業は、かけ算で出きる数字の大きさを、前もって大体見積もるという訓練と、もう一つは、整数のかけ算についての定理を使って、候補を絞るという作業です。

因数分解は、実は、こういう作業をしているのです。数字が複雑で、どんな数字か見当が付かない場合は、二次方程式の根の公式を使って、答えから逆に因数分解の係数や数を求めることをします。

従って、上に述べたことは、総当たりと似ていて、全然違う手順だと言えます。因数分解とは言っていなくても、実際に因数分解するときの数字の出し方、見当の付け方の技術を、定理などを使って、実演しているのです。

お礼

こんなにご丁寧で労力を要する回答を頂けて恐縮するばかりです。この質問の回答だけでなく因数分解について知れたことも、今後の知識となりました。
こどもには、上記の説明をしてみます。ただ、理解できるかどうか・・・。大変、ありがとうございましたm(__)m。

回答No.2

hoshit

１番分かりやすくするとなると最終式が
１３６＝１／２□（□＋１）
２７２＝□（□＋１）
２７２＝□^２＋□
２７２／□＝□＋１
□＝２７２／□－１が限界じゃないでしょうかね。
一応これで□＝という形になるので、これに数字を当てはめていく方法が１番わかり安いかなって思います(^-^)

もっと簡単な解き方があるかもしれないので、全然自身なしです(^-^ゞ

お礼

限界まで考えてくださってありがとうございます。小学生にはちょっとむずかしいかなと考えています。

回答No.1

I-love-manabee

小学校でどこまで習っているかわかりませんが
足し算,引き算,掛け算,割り算を知っているなら
因数分解を教えてもいいのではないのでしょうか？
もし、中学受験で等差数列等の問題が出るというの
ならば、問題が出ている以上、その受験する
中学に受験して受かったときに因数分解は
知っているものとして授業をはじめると思います。
ですから遠回りをせずに因数分解を教えたほうが
よろしいと思います。

handmishさんの解答にはお答えできなくてすみません。

お礼

的確なアドバイスでした。いまみなさまの回答を見ると、見当違いの質問だったかと・・・。でも、謎のままにするよりか知れてよかったです。ありがとうございました。