数列n^2の和の公式

質問

中年男性です。「なるほど高校数学　数列の物語」と云う読本を読んでいます。ようやく漸化式の
ところまで読み進めたのですが、ひょんなところで数列n^2の和の公式に出くわしました。
数列nの和については読本に載っていましたがn^2については記述がありません。
自分で挑戦しましたが、ダメでした。階差数列を求めて何だかんだとやってはみたのですが結局
ダメでした。
どなたか導き方をお解りのかたがおられたら解説戴けないでしょうか。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

数列 A[n]=n^3 の階差数列をB[n]とします。
つまり、
B[n]=A[n]-A[n-1]=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1

Σ[k=1・・・n]B[k]
=Σ[k=1・・・n](3k^2-3k+1)
=3Σ[k=1・・・n]k^2-3Σ[k=1・・・n]k+Σ[k=1・・・n]1
=3Σ[k=1・・・n]k^2-3n(n+1)/2+n

一方、
Σ[k=1・・・n]B[k]
=Σ[k=1・・・n](A[k]-A[k-1])
=(A[1]-A[0])+(A[2]-A[1])+(A[3]-A[2])+・・・・+(A[n]-A[n-1])
=A[n]-A[0]=n^3
なので、
3Σ[k=1・・・n]k^2-3n(n+1)/2+n=n^3

これから、
Σ[k=1・・・n]k^2=n(n+1)(2n+1)/6
となります。

n^3、n^4なども和も同様の方法で求めることができます。

お礼

ご回答ありがとうございました。
数列n^の階差をとると、n^3が消えること。階差数列の和を計算すると、最終項の先頭の数になることに着目して導く訳ですね。あっぱれですね。
前者は試行錯誤で気が付くかもしれませんが、後者は自信がありません。しかもどんな数列でも
成り立つのですから驚きました。

回答No.4

htms42

＃２に書かれているのは分かりやすいですね。

私のはあまり数学的ではありません。
こんなことをやってみると面白いかもしれませんというものです。

１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ(ｎ＋１)／２
これは台形の面積を求める方法と同じイメージで求めることができます。
小学生でも分かります。よく偉人伝に出てくるエピソードとして載っているものです。
〇△△△△
〇〇△△△
〇〇〇△△
〇〇〇〇△
２つ組み合わせると長方形になります。

１＋４＋９＋・・・＋ｎ^2＝ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)／６
これは四角錐台を６つ組み合わせると直方体になるということではないかということです。
１，４，９の３段の四角錐台を発泡スチロールの容器から切りだして作りました。
横から見ると
〇
〇〇
〇〇〇
となっています。１のところは立方体になっています。
この四角錐台を６つ組み合わせると直方体になることが分かりました。
直方体の３辺がｎ，ｎ＋１、２ｎ＋１（実際は３，４，７）になっているのも分かりました。

同じものを６つ作るのはしんどいです。３つしか作っていません。
でも３つ組み合わせると「これを２つ持ってくるとぴったり直方体になる」という形が出来上がりますので十分です。うまく組み合わさって直方体が見えてきた時は「できた！」と感激しました。

お礼

ご回答ありがとうございました。
htms42様が数学的でないと仰っていますが
一番数学的な解説ではなかったかと思います。
しかも非常に難解でした。
こう云うと理解したように思われるかもしれませんが
まったく理解できませんでした。
数列と幾何は二大不得意分野だったので多少数列を
理解してから挑戦しようと思います。

回答No.3

stkmghck

高校数学からは離れてしまいますが、
Bernoulliの多項式との関係性をみるのも面白いと思います。
導き方とは関係ありませんが、参考までに。

お礼

ご回答ありがとうございました。
「Bernoulli(ベルヌーイ?)の多項式」の言葉を
覚えておきます。

回答No.2

alice_44

n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1) = 3n(n+1)
であることを、計算で確認してください。
よって、N(N+1)(N+2) = 3Σ[n=1～N]n(n+1)
が成り立ちます。これは、覚え易い公式です。

nの2乗 = n(n+1) - n の両辺を Σ すれば、
上記の式を使って Σ(nの2乗) が求まります。

もっと高次の Σ(nの3乗) や Σ(nの4乗) も、
同様に計算することができます。

お礼

ご回答ありがとうございました。
わずか数行で確認できるところがスマートですね。
でも最初のn(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1) = 3n(n+1)
の式がふって湧いたような印象を受けました。
この式は覚えないと仕方ありませんね。
それとN(N+1)(N+2)は数列n(n+1)(n+2)の階差数列の
和のことですよね。これは最初の回答者様の解説に
ありましたので解りました。