階差数列の公式に関する質問

質問

階差数列の公式に関する質問です。

階差数列からもとの数列を求める公式
n≧2のとき
An=A1 + Σ(Ak+1 - Ak)
ですが、n=1のとき成り立たない場合があるのでしょうか？
今まで問題を解いている中ではすべてn=1のときも成立しました。n=1の時を考えるとΣの範囲がおかしくなるのでn≧2で考えると先生から聞きましたが、n=1でも一般項が成立しています。

和と一般項の関係
n≧2
Sn - Sn-1 = An
n=1
S1 = A1

の場合はn=1で成り立たない場合は何回か解いたことがあります。

もし階差数列でn=1が成り立たない場合があるのでしたら、それはどのような場合でしょうか？

回答No.4

mumchan · ベストアンサー

数列｛ａｎ｝の階差数列｛ｂｎ｝を用いて一般項ａｎを求めるのに，

ａｎ＝ａ１＋（ｂ１＋ｂ２＋・・・＋ｂｎ－１）・・・（１）
（ただし　ｎ＝２，３，４・・・）

　を用いた場合，ｎ＝１のときの整合性を吟味する必要がある。
しかし，（１）から求めた式は，実際のａ１とほとんどの場合一致する。
そこで，（１）は，ｎ＝１のときの吟味なしで十分なのではないかと思い，
証明方法を改良してみることにした。

［証明］

数列｛ａｎ｝の階差数列｛ｂｎ｝で，

ｂ０＝０，ａ０＝ａ１－ｂ０ （＝ａ１）

と定義すると，（初項と同じものを第０項として余計に付けただけ）
以下のような関係になる。

数　　列　　ａ０　　ａ１　　ａ２　　ａ３　　ａ４　 ・・・　 ａｎ－１　ａｎ

階差数列　 　　ｂ０　　ｂ１　　ｂ２　　ｂ３　　　　　　　　　　　ｂｎ－１　

ａｋ　－　ａｋ－１　＝　ｂｋ－１ （ｋ＝１，２，３，・・・，ｎ）

したがって，
ａｎ ＝ａ０＋ｂ０＋ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋・・・＋ｂｎ－１ ・・・・・・（２）
（ｎ＝１，２，３，４・・・）
（ｎ＝１でもなりたつ所がポイント！）

さて（２）は，ｂ０＝０，ａ０＝ａ１－ｂ０ （＝ａ１） と定義したので，
ｎ≧２のとき
ａｎ ＝（ａ０＋ｂ０）＋ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋・・・＋ｂｎ－１
　　＝ａ１ +（ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋・・・＋ｂｎ－１） （今まで通り）
また，（２）は，ａ０＝ａ１，ｂ０＝０ だから
ａｎ ＝ａ０＋ｂ０＋ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋・・・＋ｂｎ－１ （ｎ＝１のときも成り立つ式！）
＝ａ０＋ｂ０
＝ａ１ 　　　　　 （ｎ＝１のとき）

以上の考察から，
（２）を基本として求めれば，ｎ＝１についての吟味は
不要であるあることがわかる。

ところが定期考査や入試では，
この事実を，既知のこととしてｎ＝１の吟味をしないで答案を書くと，
減点される心配があります。

そこで，証明の際には，

　「　ｂ０＝０，ａ０＝ａ１－ｂ０ （＝ａ１） と定義すると
ａｎ ＝ａ０＋ｂ０＋ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋・・・＋ｂｎ－１
（ｎ＝１，２，３，４・・・）　」

を先頭に付け加えるとよいでしょう。

そんなの面倒くさいというなら，
今まで通りに，ｎ＝１の場合を別枠で調べてください。

なお，Ｎｏ３（nakaizu）さんが回答の中で
｛ａn｝：０，２，３，４，・・・
｛ｂn｝：２，１，１，１，・・・
を例に出していますが・・・

引用
　　またs[n]=b[1]+b[2]+…+b[n]とすると
　　a[n]=a[1]+s[n-1]となります。・・・
s[n-1]=nなのでn>1のときには
a[n]=nとなりますが、n=1のときには成り立ちません
引用終わり

引用1行目　s[n]=b[1]+b[2]+…+b[n]　とありますが，
n=0のときが定義されていません。

s[n]=b[1]+b[2]+…+b[n]　（n>1のとき）
s[n]=0　　　　　　　　　　(n=1のとき)
とすれば，矛盾はありません。

上に示したやり方ですと
b[0]=0，a[0]=a[1]－b[0]と定義し，
s[n]=b[0]+b[1]+b[2]+…+b[n]　(n>=1)
と考えるということです。

そもそも階差数列を用いて一般項を求める方法の問題点は，
初項の前に項がないから，階差がつくれない。
それで，ｎ＝１のとき別に調べなければならない・・・
という，形式的なことからくるものです。

ところで，数列とは関数ｙ＝ｆ（ｘ）の定義域を自然数に限定したものです。
ｎ＝０も加えてａ１の前の項ａ０を作ってやり
　ａ０　　ａ１　　ａ２　　ａ３　　ａ４　 ・・・ とし，

ｘ＝０，１，２，３，・・・に対するｆ（ｘ）を求めたら
再度定義域を０を除いた自然数に限定してやれば，
ａ０は別に調べなければならなかったけれど，その右のａ１からは
ｆ（ｘ）のとおりですよ～。
というわけです。

また，和Ｓnからａnを求める問題については，
ａ1＝Ｓ1 　　・・・・(#)
ａn＝Ｓn－Ｓn-1 (n>1)・・・(*)
の公式で求めますが，
ｎ＝１のとき(*)に無理矢理ｎ＝１を代入すれば，
ａ1＝Ｓ1－Ｓ0 ・・・・(#1)
となりますが，Ｓ0は定義されていませんので，
やってはいけないのですが・・・

Ｓ0＝０になる場合は
ｎ＝１のときも(#)と(#1)は整合性があります。
ですから，こういうときはｎ＝１のときが
ｎ＞１のときと回答の式を１本にできる場合なのです。

でも，
Ｓ0 ≠０のときは，整合性がありません。
このときは，必ずｎ＝１のとき別枠で調べ，
回答もｎ＝１のときとｎ＞１のときの
２本立てで回答することになります。

Ｓｎは，ｎの整式で与えられることがほとんどですので，
Ｓｎの定数項が０のとき→１本にできる
Ｓｎの定数項が０でないとき→２本立て
になります。

回答No.3

nakaizu

はっきり言って、普通に解いていったときには例外が発生しません。より詳しくいえば、Σの計算を高校で習っている公式などで求めた時には例外が発生しないのです。
それではどのような時に例外が発生するのかというと、Σを求める公式を自分で作ったりすると発生することがあります。
数列の第n項をa[n]などと表すことにします。
a[n]が0,2,3,4,5,6,…という初項以外は等差数列となっている数列を考えます。
a[n]の階差数列をb[n]とするとb[1]=2,b[2]=b[3]=…=1
です。
またs[n]=b[1]+b[2]+…+b[n]とすると
a[n]=a[1]+s[n-1]となります。
さて、s[n]をもとめてみるとs[n]=2+1+…+1と2を1つと1をn-1個足したものですからs[n]=n+1となります。a[1]=0
、s[n-1]=nなのでn>1のときには
a[n]=nとなりますが、n=1のときには成り立ちません.

回答No.2

mickel131

あなたがこれまで解いた問題の中で、nが1のときも成り立っていたのは、偶然と考えてください。
nが1のとき成り立たないより、成り立った方が感じが良い、と、問題作成者の好みで、成り立つような数列を選んで出題されているケ－スがある、と考えてください。
（反対に、成り立たないようなケ－スを好んで出題する人もいそうですが。）
ですから、たとえ、nが1のときも成り立つそういう数列でも、しっかり、「n≧2のとき、」　という文言を書かなければ減点になります。また、、「n = 1のとき、」を別に明記しなければ、減点されます。
最後の質問は、すぐに例が見つかりません。ということは、あなたのおっしゃるように、求めた一般項が　n = 1のとき、成り立たないような問題例は、少数なのでしょう。

回答No.1

sunasearch

An=A1 + Σ(Ak+1 - Ak)

この公式のΣのkの範囲は、１からn-1ですよね？

ですから、n=1のときはkが１から０までたし算、というおかしなことになりますよ。

これを仮に、０から１と考えたとしても、
A1-A0を計算することになりますから、
A1=A0が成り立たない（もしくはA0が未定義）ときには、式も成り立たなくなります。