幾何学の逆像に関する問題です。

質問

ＲからＲへの関数g(x)=2x^2+x-1とＲの２つの部分集合Ｂ１＝[－２，０]とＢ２＝[０，２]について
(１)　g^-1(Ｂ１)＝[　（　）　，　(　)　]である。
(２)　g^-1(Ｂ１　∪　Ｂ２)＝[　（　）　，　(　)　]である。
(３)　g^-1(Ｂ１　∩　Ｂ２)＝[　（　）　，　(　)　]である。

それぞれ逆像の範囲を求める問題で頭を悩ませているのですが、
平方完成をするとｇ(ｘ)=2(x+(1/4))^2-(9/8)となるので逆像を考える際にｘ≧-1/4か-1/4≧ｘを考えなければいけないと思いますがどちらを選択すべきか？(両方必要なのか？)でも困っています。

ｇ(-2)=5　　ｇ(0)=-1　　ｇ(2)=9　　ｇ^-1(ｘ)=(-1±?√(8ｘ+9))/4

Ｂ１の値域[-1，5]　　Ｂ２の値域[-1，9]

というような考え方をしていくのだと思いますが
なかなか答えを導き出すことができません。

条件等が曖昧な問題ですいません。
何かアプローチの仕方があれば教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

ＲからＲへの関数g(x)=2x^2+x-1とＲの２つの部分集合Ｂ１＝[－２，０]とＢ２＝[０，２]について

それぞれ逆像の範囲を求める問題で頭を悩ませているのですが、
＞平方完成をするとｇ(ｘ)=2(x+(1/4))^2-(9/8)となるので
g(x)≧－(9/8)、
ｙ＝ｇ-1（ｘ）のグラフをｘ＝２ｙ^2＋ｙ－１　……（ア）とする。
定義域は－9/8≦ｘ　……（イ），値域はＲ全体である。
Ｂ１＝｛ｘ｜－２≦ｘ≦０｝，Ｂ２＝｛ｘ｜０≦ｘ≦２｝とすると、
Ｂ１　∪　Ｂ２＝｛ｘ｜－２≦ｘ≦２｝
Ｂ１　∩　Ｂ２＝｛ｘ｜ｘ＝０｝

＞(１)　g^-1(Ｂ１)＝[　（　）　，　(　)　]である。
（イ）とＢ１より、-9/8≦ｘ≦０で、値域を求めるには、（ア）とｘ＝０の交点を求める。
２ｙ^2＋ｙ－１＝０より、
（２ｙ－１）（ｙ＋１）＝０，ｙ＝－１，１／２
よって、－１≦ｙ≦１／２

＞(２)　g^-1(Ｂ１　∪　Ｂ２)＝[　（　）　，　(　)　]である。
（イ）より、-9/8≦ｘ≦２で、値域を求めるには、（ア）とｘ＝２の交点を求める。
２ｙ^2＋ｙ－１＝２より、２ｙ^2＋ｙ－３＝０
（２ｙ＋３）（ｙ－１）＝０，ｙ＝－３／２，１
よって、－３／２≦ｙ≦１

＞(３)　g^-1(Ｂ１　∩　Ｂ２)＝[　（　）　，　(　)　]である。
値域を求めるには、（ア）とｘ＝０との交点を求めるから、（１）と同じ
よって、－１≦ｙ≦１／２

でどうでしょうか？
この計算で求められる理由は、グラフを描いてみると分かります。

お礼

素早い回答ありがとうございました。
今日一日考えてだいたいは理解できました。

確かにグラフを書いてみるとなぜｘ＝０やｘ＝２のところで考えるのかが見えてきました。

もっと勉強して幾何学的な考え方を身につけていきたいと思います。

本当にありがとうございました。

回答No.2

muturajcp

g(x)=2x^2+x-1
g(x)=2{x+(1/4)}^2-(9/8)≧-9/8
(1)
x∈g^{-1}(B1)
↓↑
g(x)∈B1=[-2,0]
↓↑
-2≦g(x)≦0
↓↑(∵-2<-9/8≦g(x))
g(x)=(x+1)(2x-1)≦0
↓↑
-1≦x≦1/2
↓
g^{-1}(B1)=[-1,1/2]

(2)
x∈g^{-1}(B1∪B2)
↓↑
g(x)∈B1∪B2=[-2,2]
↓↑
-2≦g(x)≦2
↓↑(∵-2<-9/8≦g(x))
g(x)=2x^2+x-1≦2
↓↑
2x^2+x-3≦0
↓↑
(2x+3)(x-1)≦0
↓↑
-3/2≦x≦1
↓
g^{-1}(B1∪B2)=[-3/2,1]

(3)
x∈g^{-1}(B1∩B2)
↓↑
g(x)=0
↓↑
(2x-1)(x+1)=0
↓↑
x=-1又はx=1/2
↓
g^{-1}(B1∩B2)={-1,1/2}=[-1]∪[1/2]

g^{-1}(B1∩B2)は
-1と1/2の2点だけからなる集合なので
閉区間で[(),()]と表すことはできない

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。
最後は閉区間ではなかったのですね。問題を見間違えていたかもしれません。すいませんでした。

逆像＝逆関数というわけではなさそうですね。

とても参考になりました。