便乗質問(No.8225961/他)

質問

便乗質問(No.8225961/No.8226424)

http://okwave.jp/qa/q8225961.html
http://okwave.jp/qa/q8226424.html

以下、R_ で実数全体の集合を表します。(ボールドのRの代わりに後ろにアンダースコアを付けました）
さて、元の問題では

[1] g(x) := f(x) = x (x<=0), = x+1 (x>0)
[2] h(x) := f(x) = x (x<0), = x+1 (x>0)

の2問が設定されていました。ここでg,hは本質問での追記です。

g(R_) = (-∞,0]∪(1,∞) = R_ ＼ (0,1] =: G_
h(R_) = (-∞,0)∪(1,∞) = R_ ＼ [0,1] =: H_

G_もH_もR_の真部分集合で1/2とその1/2-近傍を含んではいません。
ところがNo.8225961の回答では1/2を端点とする領域、つまりfによる値域の外の点のfによる逆像を何の定義もなしに使っています。

定義域や値域の話が出てきたのはNo.8226424のベストアンサーの方が最初です。
それまで誰もツッコミすら入れていません。
位相空間論を論じる場合、定義域や値域は考慮しないものなんでしょうか？
fによる値域の外の点のfによる逆像を何の定義もなしに使っていいのでしょうか？
その場合、未定義部分の扱いはどうなるのでしょう？

とりとめない上、揚げ足取りみたいで申し訳ありませんが、引っかかってしょうがないので、どなたか解説をお願いします。

なお本文中、左辺 := 右辺は左辺を右辺で定義する、左辺 =: 右辺は右辺を左辺で定義する、という意味で書いています。

回答No.1

rinkun · ベストアンサー

関数の定義において定義域は重要ですが、厳密な値域はそれほど重要ではありません。
g : R_ -> R_
h : R_-{0} -> R_
と考えて良いので、終域R_の部分集合である(-1/2,1/2)の逆像を考えることはできます。
# 逆像は写像が指定した終域の部分集合に含まれるような定義域内の点の集合で良い
# 値域にない終域の点は定義域内の点の写像にはなりえないので無視される

関数は始域全体で定義されるので上のようになりますが、部分関数の概念を入れるなら
g,hとも R_ -> R_ で、gは全関数だけど、hは真の部分関数になるというだけです。
# 感覚的にはこちらと思うが、あまり意識されることはない

お礼

ありがとうございます。
言われて位相空間論の本を引っ張り出して定義を確認しました。
間違って覚えていたようです。
勉強になりました。

回答No.2

alice_44

S の逆像というのは、
f(X)⊆S となる最大の集合 X のことで、
f(X)＝S になる必要はない。
だから、S は値域に含まれなくても構わない。
値域と S の共通部分を S1 と置くと、
S の逆像と S1 の逆像は一致する。
逆像と逆写像を区別しろと
ツッコんでる人は、既にいたよね。

お礼

ありがとうございます。
言われて位相空間論の本を引っ張り出して定義を確認しました。
間違って覚えていたようです。
勉強になりました。