逆関数の求められなくて困っています。

質問

関数f(x)=2x^3-3x^2-12x+1の定義域と値域を適切に選んで、逆関数をいくつか求めよ、という問題の解き方が分からなくて困っています。
逆関数の求め方も分からないのですが、定義域、値域を選んで、という意味も分からないです。。。

どうか、よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
A#1の補足と訂正です。

逆関数を陰関数の表現でよければ
g(x,y)=2y^3-3y^2-12y+1-x=0として
f(x)の定義域と値域と
g(x,y)の定義域と値域を対応させます。

f(x)の定義域：x≦-1、値域：f(x)≦8の場合の
逆関数g(x,y)の定義域：x≦8、値域：y≦-1

f(x)の定義域：-1≦x≦2、値域：8≧f(x)≧-19の場合の
逆関数g(x,y)の定義域：-19≦x≦8、値域：2≧y≧-1

f(x)の定義域：x≧2、値域：-19≦f(x)の場合の
逆関数g(x,y)の定義域：-19≦x、値域：y≧2

となりますね。

A#1の訂正と補足
逆関数g(x)=f^(-1)(x)=(xの式)で表したい場合
は3次方程式を解かないといけないが、適当な解の公式がありません。
仕方がないのでカルダノの解の公式を使います。
カルダノの公式は実数解でも虚数単位が入ってくることです。
それを許容すれば逆関数をy=g(x)の形式で求められます。

>たとえば、
> 定義域[-1≦x≦2]でのf(x)の逆関数f^(-1)(x)=g(x)は
この場合のg(x)は iを虚数単位として
g(x)=-(((√3)i+1)(2((x-8)(x+19))^(1/2)+2x+11)^(2/3)
-2(2((x-8)(x+19))^(1/2)+2x+11)^(1/3)-9(√3)i+9)
/(4(2((x-8)(x+19))^(1/2)+2x+11)^(1/3))
g(x)の定義域：-19≦x≦8、値域：2≧g(x)≧-1
となります。g(x)の式は見かけ複素数ですが、関数値は実数になります。

定義域[2≦x]でのf(x)の逆関数f^(-1)(x)=g(x)は
> g(x)=(1/2)[1+(2x+11+2√{(x-8)(x+19)})^(1/3)
> +(2x+11-2√{(x-8)*(x+19)})^(1/3)]
となります。
逆関数y=g(x)の定義域：-19≦x, 値域：y≧2
と訂正します。

同様にして
定義域[x≦-1]でのf(x)の逆関数f^(-1)(x)=g(x)は
g(x)=-[((√3)i+1)(2{(x-8)(x+19)}^(1/2)+2x+11)^(2/3)
-2(2{(x-8)(x+19)}^(1/2)+2x+11)^(1/3)-9(√3)i+9]
　/[4(2{(x-8)(x+19)}^(1/2)+2x+11)^(1/3)]
この場合はg(x)の定義域:x≦-1と値域:y≦8
となります。こ
のg(x)も見かけは複素数ですが定義域で実際は実数です。

なぜ、上のようになるかは自分で計算して確認して確認して下さい。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます！とても助かりました。

逆関数の定義からしっかり復習します。

それにしても、なんかすごく複雑な感じですね。
難しそう。。。がんばって勉強します。

回答No.1

info22

>逆関数の求め方も分からないのですが、定義域、値域を選んで、
>という意味も分からないです

定義がわかっていなければ解く以前の問題です。

逆関数の定義について以下を復習して勉強しなおしておいてください。
http://wwwbiz.meijo-u.ac.jp/~torii/bizmath/chap2.pdf
http://kotobank.jp/word/%E9%80%86%E9%96%A2%E6%95%B0
http://amath.doshisha.ac.jp/~kon/lectures/2007.calculus-I/html.dir/node16.html
http://www14.plala.or.jp/phys/tools/17.html

f'(x)=0のxの値を境界にして定義域を選びます。
－∞<x≦-1、-1≦x≦2, 2≦x<∞
各定義域に対する値域は
－∞<f(x)≦8、8≧f(x)≧-19、-19≦f(x)<∞
各定義域で
x=f(y)=2y^3-3y^2-12y+1
から
y=（xの式)
の形に解いた式y=f^(-1)(x)を求めればこれが　
それぞれの定義域に対する逆関数になります。
f^(-1)(x)の定義域と値域は、それぞれ　f(x)の値域と定義域に対応します。

たとえば、
定義域[-1≦x≦2]でのf(x)の逆関数f^(-1)(x)=g(x)は
g(x)=(1/2)[1+(2x+11+2√{(x-8)(x+19)})^(1/3)
+(2x+11-2√{(x-8)*(x+19)})^(1/3)]
　（↑　3次方程式の解の式を整理して導出）
定義域は、-19≦x≦8　となります。