逆関数の問題です。

質問

逆関数の問題です。

F(x)r→R
X→(ｘ^3)+ax+b
が逆関数をもつための必要十分条件を求めなさい。

よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＃１です。
　ミスがありましたので、下記の通り訂正します。

＞⇔y=f(x)が極値を持たない。
＞⇔f'(x)=0を満たす実数xが存在しない。
（正）⇔f'(x)=0を満たす実数xが存在しないか、または、重解をもつ。

＞　f(x)=x^3+ax+b としますと、
＞f'(x)=3x^3+a=0
＞　となりますので、f'(x)=0 を満たす実数解を持たないか、または重解をもつようにするためには、次の条件が必要十分です。
＞　　a<0
（正）　　D=-a≦0
　　　　∴a≧0
　したがって、次のことが求める必要十分条件になります。

＞　　a<0, b:任意
（正）a≧0, b:任意

お礼

分かりやすい回答ありがとうございます。

回答No.1

Mr_Holland

題意は次のように同値変形できます。

　3次関数y=f(x)が逆関数をもつ。
⇔いかなるyの値に対してもy=f(x)を満たすｘはただ1つである。
⇔f(x)は単調増加関数もしくは単調減少関数である。
⇔y=f(x)が極値を持たない。
⇔f'(x)=0を満たす実数xが存在しない。

　f(x)=x^3+ax+b としますと、
f'(x)=3x^3+a=0
　となりますので、f'(x)=0 を満たす実数解を持たないようにするためには、次の条件が必要十分です。
　　a<0

　したがって、次のことが求める必要十分条件になります。

　　a<0, b:任意