二次関数の問題

質問

二次関数の問題

実数a,bに対して、f(x)=a(x-b)^2とおく。ただし、aは正とする。
放物線y=f(x)が直線y=-4x+4に接している。

（１）bをaを用いて表せ。
（２）0≦x≦2において、f(x)の最大値M(a)と、最小値m(a)を求めよ。

（１）は、a(x-b)^2=-4x+4と置き、整理してから判別式D=0で解いて
b=a+1/aであっていますか？
また（２）はどのように考えるのでしょうか？
やはり（１）を使うのでしょうか？

またこの問題は「東京工業大学」の入試問題らしいのですが、
二次関数y=3/4x^2-3x+4の区間a≦x≦b（0＜a＜b）における値域が区間a≦y≦bであるという。aとbを求めよ。
これの考え方がわかりません。
とりあえず平方完成して軸（x=2）と頂点の座標（2,1）はだしたのですが、ここからのやりかたがわかりません。。
区間が文字だから場合分けとか思い浮かぶんですが・・・

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

(1)
>b=(a+1)/aであっていますか？
合っています。分子には（ ）をつけて下さい。

(2)
>やはり（１）を使うのでしょうか？
使います。

>0≦x≦2において
M(a)=f(0)=a(0-(a+1)/a)^2={(a+1)^2}/a=2+a+(1/a)
m(a)=f(2)=a(2-(a+1)/a)^2={(a-1)^2}/a=-2+a+(1/a)

>問題は「東京工業大学」の入試問題
>y=(3/4)x^2-3x+4=(3/4)(x-2)^2 +1
=f(x)とおく。
f(a)=(3/4)(a-2)^2 +1
f(b)=(3/4)(b-2)^2 +1

ここで軸（x=2）とx=a,x=bの位置関係で場合わけすればいい。
a<b<=2の時　f(b)<=y<=f(a)
　f(b)=a,f(a)=b
a<=2<b,2-a<b-2の時　f(2)=1<=y<=f(b)
a=1,f(b)=b
a<=2<b,2-a>b-2の時　f(2)=1<=y<=f(a)
a=1,f(a)=b
2<=a<bの時　f(a)<=y<=f(b)
f(a)=a,f(b)=b
各場合について　a,bを求めれば良いでしょう。

お礼

皆様回答ありがとうございました。

回答No.5

mister_moonlight

＞またこの問題は「東京工業大学」の入試問題らしいのですが、
＞区間が文字だから場合分けとか思い浮かぶんですが・・・

浮かんだだけでは、進まない。実際に手を動かしてみろよ、単なる計算問題だから。

f(x)＝3/4x^2-3x+4 とする。
(1)　2≧b　(2)　a≧2　(3)　(a＋b)/2≦2≦b (4)　a≦2≦(a＋b)　の4つの場合わけ。

ちなみに、(1)では　b＝f(a)、a＝f(b)として、連立方程式を解くだけ。和と差を作ればいいだろう。

続きは、自分でやって。

回答No.3

Anti-Giants

(1)
a(x-b)^2=4x+4.
放物線と直線が接している⇒これが重解をもつ⇒判別式=0。
(ab+2)^2-a^2b^2+4a=0.
4ab+4-4a=0.
b=1-1/a.

(2)
a>0⇒1-1/a<1.
f(x)=a(x-1+1/a)^2.
0≦1-1/a<1⇒最小値はf(1-1/a)=0.
1-1/a≦0⇒最小値はf(0)=a(1-1/a)^2.
最大値はf(2)=a(1+1/a)^2.

値域の右端＝最大値、地域の左端＝最小値。

最小値はaかbか頂点でとる。
最大値はaかbでとる。
y=f(x)=3/4(x-2)^2+1.

0<a<b≦2のとき、最大値はaで、最小値はbでとる。
f(a)=b,f(b)=aをみたす0<a<b≦2があるか？

0<a≦2<bのとき、最大値はaまたはbで、最小値は2でとる。
f(2)=a⇒a=1.これはダメ。

2<a<bのとき、最大値はbで、最小値はaでとる。
f(b)=b,f(a)=(a)をみたす2<a<bがあるか？

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

＞b=a+1/aであっていますか？
微妙に、違っているように思われます。
もう一度、計算をやり直してみてください。

＞また（２）はどのように考えるのでしょうか？
＞やはり（１）を使うのでしょうか？
はい、(1)は使いますね。
小問題に入る前に書かれている内容（条件）なので、すべての小問題でこの条件はあるものとして扱います。

2次関数の xの範囲（定義域）と最大・最小（値域）の問題は、考えているように「軸」がキーになります。
xの範囲と軸との位置関係によって、最大・最小は変わりますね。

軸が別の変数だったり、xの範囲が別の変数だったりと形は違っていますが、考え方は同じです。
軸が「左」「真ん中」「右」でどのように変わるかを考えてみてください。

補足

何度計算しても
b=a+1/aにしかならないのですが・・・。

回答No.1

Tacosan

(1) やり方はあってる. 結果は確かめてないので知らない.
(2) (1) の結果を使わないと b が消えてくれないので使うのは当然. あとは b と考えている範囲との関係をみる.
最後の奴は, グラフを描いちゃうのが速いんじゃないかな.