幾何学の問題です。

質問

a,b,c,dをa<b<c<dとなっている実数とする。
A = [a,b) = {x∈R:a<=x<b}, B = [c,d) = {y∈R:c<=y<d} とするとき、つぎの問に答えよ。
また、その理由を述べよ。
(1)A×B は R^2 の開集合であるか。
(2)A×B は S×S の開集合であるか。
↑
のような問題があるのですが、どのように解いていけばよいのですか？
ヒントだけでも教えていただければ、幸いです。宜しくお願いします。

回答No.2

kup3kup3

こんにちは。とにかく位相数学の問題は図を書くことが大事です。
(1)　A×Bの図を書くと、長方形だが境界線の左の辺と下の辺は実線である。
　　ただし、左上の頂点は入らなく、右下の頂点も含まれない。さて
開集合の定義を述べておきます。
A×Bが開集合　⇔A×Bに属すどんな点（x1,y1)に対しても、
　　　　　　（x1,y1)を含む小さな開円板UがあってUはA×Bに含まれるとできる
これが(1)のヒントです。
この(1)では　b<cは全然関係ないです。
(2)
　はＳが何であるか質問に書いてないので　すぐ「補足欄に」
　書きこみなさい。

お礼

kup3kup3さん、どうも返信ありがとうございます。
はっきり言って幾何学が全く解らず、ヒントを教えていただいたので、その当たりを調べてみたいと思います。また、解らないことがあれば教えていただければ有り難いです。

回答No.1

ojisan7

>どのように解いていけばよいのですか？
それはご自分で考えて下さい。
（１）R^2 の開集合を考える前に、Rの開集合は何ですか。それが分かれば、積空間R×Rの位相はどのように導入されたかを思い出せばよい。
（２）Sとは何ですか、１次元球面ですか、それともSorgenfrey直線ですか。それが分かれば、積集合の位相を思い出すだけでよい。
めでたしめでたし。　(^_^)

お礼

ojisan7さん、どうも返信ありがとうございます。
はっきり言って幾何学が全く解らず、勉強の仕方もままなりません。もし宜しければ、わかりやすい本や良いサイト等あれば紹介していただければ幸いです。