数列の問題で、答えはいらないですけど解き方を・・・

質問

数列の問題で、答えはいらないですけど解き方を教えてほしいです

数列の一般項を求める問題で、Σが出てきたときどういう風に解けばいいのかが疑問です・・・

その問題の画像は添付します（上と下の二問あります）

どうかご教授ください・・・

回答No.7

info22_ · ベストアンサー

#2,#3,#5です。

A#3の補足について

>（１）においてですが
>ｎ＝２のとき
>2c/3になりますよね？

>でも与式でa[2]のときを考えたら-c/3になりません？

その通りです。

A#3の解答の中で項比
a[n+1]/a[n]
の適用範囲はn≧2の所をn=1まで適用しておりましたので
以下のように訂正して該当部分の前後を含め再掲します。
---------------------------------------------
a[n+1]/a[n]=(n+1)/(n+2) (n=2,3,4, ... )

nを順にn,n-1, ... ,1とおいた式を書き下すと
a[n+1]/a[n]=(n+1)/(n+2)
a[n]/a[n-1]=n/(n+1)
...

a[4]/a[3]=4/5
a[3]/a[2]=3/4

以上の隣接項の比を全部掛け合せると、
順に次々隣接項と約分できて次式が得られる。

a[n+1]/a[2]=3/(n+2)　(n=2,3,4, ... )

a[n+1]=a[2]*3/(n+2)　← a[2]を掛ける

ここで　a[2]=-a[1]/3=-c/3 より

a[n+1]=-(c/3)*3/(n+2)=-c/(n+2)
a[2]の条件を入れたので　nは
(n=1,2,3, ... )
で成り立つ。

以上、まとめると、一般項a[n]は

a[n]=-c/(n+1) (n=2,3,4, ... の時)
a[n]=c (n=1の時)
------------------------------------

#A6の補足について

>（１）は結局
a[n] = -c/(n+1) （n≧2）
a[n]=c (n=1)

（２）
a[n]=(c/2)(n+2)/(n+1)　(n≧2)
a[n]=c (n=1)

となりますね？？

その通りです。
特に数学的帰納法でなければならないということはありません。
上記の(1)の訂正とA#5の(2)に書いた計算結果の通りです。

お礼

＞nを順にn,n-1, ... ,1とおいた式を書き下すと

は
nを順にn,n-1, ... ,2とおいた式を書き下すと
ですよね？

おかげさまでわかりました、ありがとうございました！！！！！

回答No.8

alice_44

どんな解法を使っても、
正しく解が求まれば問題はない。

等式変形が手詰まりになったときには、一度
予測+証明による方法は試みたほうがよいと思う。
答案がどうのこうの以前に、最初の数項を
漸化式どおりに計算して、何がどうなっているか
見てみよう…という発想は、常に持っているべき。

お礼

ありがとうございます

ただ、今回はちゃんと、それをやったうえで、返事したわけです

回答No.6

alice_44

あれ？
＞ 答えはいらないですけど解き方を教えてほしいです
じゃなかったの？

a[n+1] = -Σ[k=1…n] a[k]/(k+2) は、
やってみると、
a[1] = c,
a[2] = -a[1]/3 = -c/3,
a[3] = -a[1]/3 - a[2]/4 = -c/4,
a[4] = -a[1]/3 - a[2]/4 - a[3]/5 = -c/5,
…
これを見れば、誰でも a[n] = -c/(n+1), n≧2
を想像すると思う。

n≦N でそうなると仮定すると、
a[N+1] = -Σ[k=1…N+1] a[k]/(k+2)
= -Σ[k=1…N] a[k]/(k+2) -a[N]/(N+2)
= a[N] - a[N]/(N+2)
= a[N]・(N+1)/(N+2)
= -c/(N+1)・(N+1)/(N+2)
= -c/(N+2)
となって、n≦N+1 でも成り立つ。

a[n+1] = -Σ[k=1…n] a[k]/(k+2)^2
も、同様にやってみて。
(やってみたところを、ぜひ補足に！)

お礼

ありがとうございました

このやりだとわかるのですが（数学的帰納法で証明するところまで）
、記述でどう書いたらいいのかよくわかりませんが
どうしてもわからないときは、第二手段として使うべきですね！

補足

（１）は結局
a[n] = -c/(n+1) （n≧2）
a[n]=c (n=1)

（２）
a[n]=(c/2)(n+2)/(n+1)　(n≧2)
a[n]=c (n=1)

となりますね？？

回答No.5

info22_

#2,#3です。

A#2の補足質問について
>やっぱり答え載せてもいいので詳しい解き方を乗せてもらえませんかね？

折角、殆ど解答に近いヒントをやったのに、そのヒントでやったことを補足に書いて、詰まっている箇所を補足質問して欲しかったね。

添字を[]の中に書く事にします。

[1つ目]
a[1]=c, a[n+1]=-Σ[k=1→n] a[k]/(k+2) (n=1,2,3, ....)

a[n+1]-a[n]=-Σ[k=1→n] a[k]/(k+2) +Σ[k=1→n-1] a[k]/(k+2)
=-a[n]/(n+2)　　← k=nの項だけが残る。

a[n]の項を右辺に移項して
a[n+1]=a[n]{1-1/(n+2)} =a[n](n+1)/(n+2)

a[n+1]/a[n]=(n+1)/(n+2)

nを順にn,n-1, ... ,1とおいた式を書き下すと
a[n+1]/a[n]=(n+1)/(n+2)
a[n]/a[n-1]=n/(n+1)
...

a[3]/a[2]=3/4
a[2]/a[1]=2/3

以上の隣接項の比を全部掛け合せると、
順に次々隣接項と約分できて次式が得られる。

a[n+1]/a[1]=2/(n+2)　(n=2,3,4, ... )

a[n+1]=a[1]*2/(n+2)　← a[1]を掛ける
　=2c/(n+2)　← a[1]=cを代入

以上まとめると、一般項a[n]は

a[n]=2c/(n+1) (n=1,2,3, ...)
（注）n=1の場合も含めることができる。

[2つ目] も同様にして　a[n] が求められます。

a[1]=c, a[n+1]=-Σ[k=1→n] a[k]/(k+2)^2 (n=1,2,3, ....)

a[n+1]-a[n]=-Σ[k=1→n] a[k]/(k+2)^2 +Σ[k=1→n-1] a[k]/(k+2)^2
=-a[n]/(n+2)^2　← k=nの項だけが残る。

a[n]の項を右辺に移項して
a[n+1]=a[n]{1-1/(n+2)^2}=a[n](n+1)(n+3)/(n+2)^2

a[n+1]/a[n]=(n+1)(n+3)/(n+2)^2　(n=1,2,3, ... )

nにn,n-1, ... ,1 と代入すると
a[n+1]/a[n]=(n+1)(n+3)/(n+2)^2
a[n]/a[n-1]=n(n+2)/(n+1)^2
a[n-1]/a[n-2]=(n-1)(n+1)/n^2
a[n-2]/a[n-3]=(n-2)n/(n-1)^2
...

a[3]/a[2]=3*5/4^2
a[2]/a[1]=2*4/3^2

以上の項比の式を全て辺々掛け合わせると、
左辺の隣接項が順に約分できて、次式が得られる
a[n+1]/a[1]={(n+1)(n+3)/(n+2)^2}{n(n+2)/(n+1)^2}{(n-1)(n+1)/n^2}・...
・{3*5/4^2}・{2*4/3^2}・{1*3/2^2}
右辺も前後の隣接項の因数が順に約分できて、次式が得られる
={(n+3)/(n+2)}{1/2}=(n+3)/(2(n+2))

a[1]を掛けa[1]=c を代入して
a[n+1]=(c/2)(n+3)/(n+2)　(n=1,2, ... )

以上から　一般項　a[n](n≧2)は nを１つ減らして
a[n]=(c/2)(n+2)/(n+1)　(n=2, ... )

お礼

ありがとうございます

補足

先ほどは失礼しました

（１）においてですが
ｎ＝２のとき
2c/3になりますよね？

でも与式でa[2]のときを考えたら-c/3になりません？

回答No.4

alice_44

最初のほうの数項を、漸化式にしたがって
実際に計算してみて、出てきた数列を眺めて
一般項を予想する。想像がついたら、
数学的帰納法でソレを証明して終わり。
予想を立てるときに山勘力が必要になるが、
このアプローチは、手駒のひとつにしておくべき。

お礼

ありがとうございます

回答No.3

info22_

#2です。

A#2にも書いたように後の問いについても、前問と同様のやり方で解けることを確認しました。
後問の方は、前問に比べ、少しばかり項の約分が前後の比の中の因数とで約分するので約分が複雑ですが、最初の方と最後の方の因数が残るだけで途中の因数は約分操作で全部消えてしまいます。

念のため...。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.2

info22_

解き方は２つとも同じようにできると思うので前問についてだけ。

答えはいらないということなので
解き方だけ。

下付き添字は紛らわしいのでa[n]のように[]内に書いて表すことにします。

a[n+1]-a[n]＝
を計算すると ＝○a[n]
と出るので
比：a[n+1]/a[n]を求めます。
この比(nをn,n-1, ... ,3,2）を次式に代入してやれば
a[n+1]/a[1]={a[n+1]/a[n]}・{a[n]/a[n-1]}・...・{a[3]/a[2]}・{a[2]/a[1]}
これから、a[n+1]が求まります(a[1]=cを代入)。
n+1→nとおけばa[n] (n=1,2, ...) が求まる。

やってみて下さい。

お礼

回答ありがとうございます

補足

回答ありがとうございます
やっぱり答え載せてもいいので詳しい解き方を乗せてもらえませんかね？

ほんと、すみません

回答No.1

yyssaa

Σのｎをｎ-1としてanを求めてan+1との差をとれば
anとan+1との関係式が得られます。

お礼

ありがとうございます