数列、群数列の問題です。

質問

数列の問題です。
数列1/1、1/2、2/1、1/3、2/2、3/1、1/4、2/3、3/2、4/1、1/5、2/4、3/3、4/2、5/1、・・・について
この数列の中で、1/2に等しい項のｋ番目は第何項か？という問題です。

数列：（1/1）、（1/2、2/1）、(1/3、2/2、3/1)、(1/4、2/3、3/2、4/1)、(1/5、2/4、3/3、4/2、5/1)・・・と群数列に分けられますよね。

1/2に等しい項は1/2、2/4、3/6、・・・があげられますよね。
第ｋ番目の1/2に等しい項はｋ/2ｋとなりますよね。
これは3ｋ-1群のｋ項に属しているから、

（ここまでは理解できました。）

この下の計算が分かりません。
1+2+3+・・・+（3ｋ-2）+ｋ
＝1/2(3ｋ-2)(3ｋ-1)+k
＝1/2(9k^2-7k+2)
となっています。

すいませんが、解説お願いします。
特に計算の（3ｋ-2）+ｋの部分が分かりません。

回答No.3

betagamma · ベストアンサー

求めたいのは、3k-1群のk項目までの項の個数ですよね？
n群の項の個数は、n個ですよね？
ですから、3k-2群の項の個数は、3k-2個です。
そして、3k-1群の一つ前の群は、3k-1-1=3k-2群ですね。
従って、
1 (1群の項の個数）
+2 (2群の項の個数）
+3 (3群の項の個数）
+...
+(3k-2) (3k-2群の項の個数）
+k (3k-1群のk項目）

というわけです。わかりにくい解答ですよねぇｗ
こう考えたほうがわかりやすいと思います。（同じぐらいかな？）
n群の個数は、n個。
だから、3k-1群の個数は、3k-1個。
だから、3k-1群の最後の項までの、すべての項の個数は、
1+2+3+...+(3k-2)+(3k-1)個
ところで、求めたいのは3k-1群のk項目。
余分に数えてしまった項の数は、(3k-1)-k個。
従って、(3k-1)-k個を、1+2+3+...+(3k-2)+(3k-1)個から引けばよいのだから、
1+2+3+...+(3k-2)+(3k-1)-((3k-1)-k)
=1+2+3+...+(3k-2)+k個

どうでしょう？

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。
見やすくて、参考になりました。

回答No.2

eatern27

＞これは3ｋ-1群のｋ項に属しているから、
これが分かっているのなら、話はわりと簡単です。

要するにこの問題は、「3k-1群のk項は全体で何番目か？」という問題です。

第１群には1つの項
第２群には2つの項
・・・
第3k-2群には3k-2個の項
があって、
第3k-1群のk番目が何番目の項であるかを求めたいわけです。

なので、
{第1群の項の数＋第2群の項の数+・・・＋第3k-2群の項の数}+ｋ
={1+2+・・・+(3k-2)}+k
が求めるべき数ですよね。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。
大変参考になりました。

回答No.1

sunasearch

3k-1群の一つ前までの項数の和を求めるために、
つまり、第１群から、第（3k-1) - 1 群までの項数の和を求めます。
これに加えて、第(3k-1)群ないで、１／２に相当する項が何番めに来るかを考えると、第２群では１番め、第５群では２番め、、、第3k-1群ではk番目に来ますので、kを最後に加えています。

お礼

ありがとうございます。
わかりやすくて、すごく参考になりました。